2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）

试卷更新日期：2019-06-14 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

(1)、已知等比数列{a_n} $(n \in N^{*})$ 满足： $a_{2} a_{4} = a_{5} ， a_{3} - 4 a_{2} + 4 a_{4} = 0$ ，求证：数列{a_n}为“M－数列”；

(2)、已知数列{b_n}满足： $b_{1} = 1 ， \frac{1}{S_{n}} = \frac{2}{b_{n}} - \frac{2}{b_{n + 1}}$ ，其中S_n为数列{b_n}的前n项和．
①求数列{b_n}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{c_n} $(n \in N^{*})$ ，对任意正整数k ，当k≤m时，都有 $c_{k} ⩽ b_{k} ⩽ c_{k + 1}$ 成立，求m的最大值．

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \in (0 ， π]$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \sin (a_{n})$ ，集合 $S = {x | x = b_{n} ， n \in N^{*}}$ ．

(1)、若 $a_{1} = 0 ， d = \frac{2 π}{3}$ ，求集合 $S$ ；

(2)、若 $a_{1} = \frac{π}{2}$ ，求 $d$ 使得集合 $S$ 恰好有两个元素；

(3)、若集合 $S$ 恰好有三个元素：b_n+T=b_n ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．

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3. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₃=4.a₄=S₃ ，数列{b_n}满足：
对每个n∈N^* ， S_n+b_n ， S_n+1+b_n、S_n+2+b_n成等比数列

(1)、求数列{a_n}，{b_n}的通项公式

(2)、记C_n= $\sqrt{\frac{a_{n}}{2 b_{n}}}$ ，n∈N^* ，证明：C₁+C₂+…+C_n＜2 $\sqrt{n}$ ，n∈N^*

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4. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，公比大于0，已知 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{3} = 4 a_{2} + 3$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{matrix} 1, n 为奇数 \\ b_{\frac{n}{2}}, n 为偶数 \end{matrix}$ 求 $a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + \dots + a_{2 n} c_{2 n} (n \in N^{*})$ .

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5. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列.已知 $a_{1} = 4, b_{1} = 6 ， b_{2} = 2 a_{2} - 2, b_{3} = 2 a_{3} + 4$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{1} = 1, c_{n} = {\begin{array}{l} 1, 2^{k} < n < 2^{k + 1}, \\ b_{k}, n = 2^{k}, \end{array}$ 其中 $k \in N^{*}$ .

（i）求数列 ${a_{2^{n}} (c_{2^{n}} - 1)}$ 的通项公式；

（ii）求 $\sum_{i = 1}^{2^{n}} a_{i} c_{i} (n \in N^{*})$ .

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6. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， $a_{1} = 2$ ， $a_{3} = 2 a_{2} + 16$ 。

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列{ $b_{n}$ }的前n项和。

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7. 设{a_n}是等差数列，a₁=-10，且a₂+10，a₃+8，a₄+6成等比数列.
（I）求{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）记{a_n}的前n项和为S_n ，求S_n的最小值.

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8. 已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1，b₁=0， $4 a_{n + 1} = 3 a_{n} - b_{n} + 4$ ， $4 b_{n + 1} = 3 b_{n} - a_{n} - 4$ .

(1)、证明：{a_n+b_n}是等比数列，{a_n–b_n}是等差数列；

(2)、求{a_n}和{b_n}的通项公式.

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9. 已知数列{a_n}，从中选取第i₁项、第i₂项…第i_m项（i₁<i₂<…<i_m）.若a_i1<a_i2<…<a_im.则称新数列a_i1 ， a_i2 ， …，a_im.为{a_n}的长度为m的递增子列.规定：数列{a_n}的任意一项都是{a_n}的长度为1的递增子列.
（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（II）已知数列{a_n}的长度为P的递增子列的末项的最小值为a_m0 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为a_n0 ，若p<q，求证：a_m0<a_n0；
（III）设无穷数列{a_n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{a_n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2^s-1个（s=1.2.…），求数列{a_n}的通项公式。

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10. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知S_n=-a₅

(1)、若a₃=4，求{a_n}的通项公式。

(2)、若a₁≥0，求使得S_n≥a_n的n取值范围。

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