2019年高考数学真题分类汇编专题14：三角函数（综合题）

试卷更新日期：2019-06-13 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ．

(1)、若a=3c ， b= $\sqrt{2}$ ，cosB= $\frac{2}{3}$ ，求c的值；

(2)、若 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\cos B}{2 b}$ ，求 $\sin (B + \frac{π}{2})$ 的值．

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2. 如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q ，并修建两段直线型道路PB、QA ．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．

(1)、若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

(2)、在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

(3)、对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．

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3. 设函数f（x）=sinx，x $\in$ R。

(1)、已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值

(2)、求函数y=[f（x+ $\frac{π}{12}$ ） ]²+[f（x+ $\frac{π}{4}$ ）]²的值域

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $b + c = 2 a$ ， $3 c \sin B = 4 a \sin C$ .
（Ⅰ）求 $\cos B$ 的值；

（Ⅱ）求 $\sin (2 B + \frac{π}{6})$ 的值.

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5. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$

(1)、求B；

(2)、若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

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6. 在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- $\frac{1}{2}$ .
（I）求b，c的值：

（II）求sin（B+C）的值.

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7. 在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- $\frac{1}{2}$ .
（I）求b，c的值；
（II）求sin（B-C）的值.

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8. ∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC。

(1)、求A；

(2)、若 $\sqrt{2} a + b = 2 c$ ,求sinC.

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