2019年高考数学真题分类汇编专题10：平面解析几何（基础题）

试卷更新日期：2019-06-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 已知抛物线的焦点为F，准线为l.若与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别交于点A和点B ，且 $| A B | = 4 | O F |$ （O为原点），则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，若 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，且 $| A B | = 4 | O F |$ （ $O$ 为原点），则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 已知F是双曲线C： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若 $| O P | = | O F |$ ，则 $△ O P F$ 的面积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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5. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的右焦点为F，点P 在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|=|PF|，则△PFO的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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6. 设F为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点， $O$ 为坐标原点，以 $O F$ 为直径的圆与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 交于P，Q两点.若 $| P Q | = | O F |$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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7. 若抛物线y²=2px(p>0)的焦点是椭圆 $\frac{x^{2}}{3 p} + \frac{y^{2}}{p} = 1$ 的一个焦点，则p=（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ （a>0）的离心率是 $\sqrt{5}$ ，则a=（）

A、 $\sqrt{6}$ B、4 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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9. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则（）

A、a²=2b² B、3a²=4b² C、a=2b D、3a=4b

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10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x²+y²=1+|x|y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$ ；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是（）

A、① B、② C、①② D、①②③

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11. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）

A、2sin40° B、2cos40° C、 $\frac{1}{\sin 50^{。}}$ D、 $\frac{1}{\cos 50^{。}}$

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12. 已知椭圆C的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）。过F₂的直线与C交于A，B两点。若|AF₂|=2|F₂B|，|AB|=|BF₁|，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2}$ +y²=1 B、 $\frac{x^{2}}{3}$ + $\frac{y^{2}}{2}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{3}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{5}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是.

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，P是曲线 $y = x + \frac{4}{x} (x > 0)$ 上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.

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15. 已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r，若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2，-1）则m= ， r=

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左焦点为F，点P在椭圆且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是

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17. 设 $a \in R$ ，直线 $a x - y + 2 = 0$ 和圆 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos θ, \\ y = 1 + 2 \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）相切，则 $a$ 的值为.

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18. 设F₁ ， F₂为椭圆C： $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF₁F₂为等腰三角形，则M的坐标为。

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19. 设抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为.

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20. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁_，F₂_，过F₁的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点。若 $\vec{F_{1} A}$ = $\vec{A B}$ ， $\vec{F_{1} B}$ · $\vec{F_{2} B}$ =0，则C的离心率为。

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