2019年高考数学真题试卷（江苏卷）

试卷更新日期：2019-06-10 类型：高考真卷

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 6}$ ， $B = {x | x > 0, x \in R}$ ，则 $A \cap B =$ .

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2. 已知复数 $(a + 2i)(1 + i)$ 的实部为0，其中 $i$ 为虚数单位，则实数a的值是.

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3. 下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.

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4. 函数 $y = \sqrt{7 + 6 x - x^{2}}$ 的定义域是.

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5. 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是.

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6. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是.

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8. 已知数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 是等差数列， $S_{n}$ 是其前n项和.若 $a_{2} a_{5} + a_{8} = 0, S_{9} = 27$ ，则 $S_{8}$ 的值是.

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9. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是120，E为 $C C_{1}$ 的中点，则三棱锥E-BCD的体积是.

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，P是曲线 $y = x + \frac{4}{x} (x > 0)$ 上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是.

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA ， AD与CE交于点 $O$ .若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6 \vec{A O} \cdot \vec{E C}$ ，则 $\frac{A B}{A C}$ 的值是.

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13. 已知 $\frac{\tan α}{\tan (α + \frac{π}{4})} = - \frac{2}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{4})$ 的值是.

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14. 设 $f (x) ， g (x)$ 是定义在R上的两个周期函数， $f (x)$ 的周期为4， $g (x)$ 的周期为2，且 $f (x)$ 是奇函数.当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ ， $g (x) = {\begin{cases} k (x + 2) ， 0 < x \leq 1 \\ - \frac{1}{2} ， 1 < x \leq 2 \end{cases}$ ，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程 $f (x) = g (x)$ 有8个不同的实数根，则k的取值范围是.

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二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

15. 在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ．

(1)、若a=3c ， b= $\sqrt{2}$ ，cosB= $\frac{2}{3}$ ，求c的值；

(2)、若 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\cos B}{2 b}$ ，求 $\sin (B + \frac{π}{2})$ 的值．

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16. 如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D ， E分别为BC ， AC的中点，AB=BC ．

求证：

(1)、A₁B₁∥平面DEC₁；

(2)、BE⊥C₁E ．

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17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为F₁（–1、0），F₂（1，0）．过F₂作x轴的垂线l ，在x轴的上方，l与圆F₂： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4 a^{2}$ 交于点A ，与椭圆C交于点D.连结AF₁并延长交圆F₂于点B ，连结BF₂交椭圆C于点E ，连结DF₁ ．已知DF₁= $\frac{5}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、求点E的坐标．

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18. 如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q ，并修建两段直线型道路PB、QA ．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．

(1)、若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

(2)、在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

(3)、对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．

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19. 设函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c), a, b, c \in R$ 、 $f' (x)$ 为f（x）的导函数．

(1)、若a=b=c ， f（4）=8，求a的值；

(2)、若a≠b ， b=c ，且f（x）和 $f' (x)$ 的零点均在集合 ${- 3, 1, 3}$ 中，求f（x）的极小值；

(3)、若 $a = 0, 0 < b ⩽ 1, c = 1$ ，且f（x）的极大值为M ，求证:M≤ $\frac{4}{27}$ ．

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20. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

(1)、已知等比数列{a_n} $(n \in N^{*})$ 满足： $a_{2} a_{4} = a_{5} ， a_{3} - 4 a_{2} + 4 a_{4} = 0$ ，求证：数列{a_n}为“M－数列”；

(2)、已知数列{b_n}满足： $b_{1} = 1 ， \frac{1}{S_{n}} = \frac{2}{b_{n}} - \frac{2}{b_{n + 1}}$ ，其中S_n为数列{b_n}的前n项和．
①求数列{b_n}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{c_n} $(n \in N^{*})$ ，对任意正整数k ，当k≤m时，都有 $c_{k} ⩽ b_{k} ⩽ c_{k + 1}$ 成立，求m的最大值．

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三、数学Ⅱ(附加题)（每题10分）【选做题】本题包括21、22、23三题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21. A.[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵 $A = [\begin{array}{l} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}]$

(1)、求A²；

(2)、求矩阵A的特征值.

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22. 在极坐标系中，已知两点 $A (3, \frac{π}{4}), B (\sqrt{2}, \frac{π}{2})$ ，直线l的方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 3$ .

(1)、求A ， B两点间的距离；

(2)、求点B到直线l的距离.

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23. 设 $x \in R$ ，解不等式 $| x |+|2 x - 1|>2$ .

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四、【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．

24. 设 ${(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}, n ⩾ 4, n \in N^{*}$ .已知 $a_{3}^{2} = 2 a_{2} a_{4}$ .

(1)、求n的值；

(2)、设 ${(1 + \sqrt{3})}^{n} = a + b \sqrt{3}$ ，其中 $a, b \in N^{*}$ ，求 $a^{2} - 3 b^{2}$ 的值.

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25. 在平面直角坐标系xOy中，设点集 $A_{n} = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), \dots, (n, 0)}$ ， $B_{n} = {(0, 1), (n, 1)}, C_{n} = {(0, 2), (1, 2), (2, 2), \dots, (n, 2)}, n \in N^{*} .$
令 $M_{n} = A_{n} \cup B_{n} \cup C_{n}$ .从集合M_n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.

(1)、当n=1时，求X的概率分布；

(2)、对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.

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