上海市2019年春季高考数学试卷

试卷更新日期：2019-06-10 类型：高考真卷

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一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {3 ， 5 ， 6}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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2. 计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} - 3 n + 1}{n^{2} - 4 n + 1} =$ ．

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3. 不等式 $| x + 1 | < 5$ 的解集为．

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4. 函数 $f (x) = x^{2} (x > 0)$ 的反函数为．

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5. 设 $i$ 为虚数单位， $3 \bar{z} - i = 6 + 5 i$ ，则 $| z |$ 的值为

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6. 已知 ${\begin{cases} 2 x + 2 y = - 1 \\ 4 x + a^{2} y = a \end{cases}$ ，当方程有无穷多解时， $a$ 的值为．

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7. 在 ${(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中，常数项等于．

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8. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $3 \sin A = 2 \sin B$ ，且 $\cos C = \frac{1}{4}$ ，则 $A B =$ ．

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9. 首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）

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10. 如图，已知正方形 $O A B C$ ，其中 $O A = a (a > 1)$ ，函数 $y = 3 x^{2}$ 交 $B C$ 于点 $P$ ，函数 $y = x^{- \frac{1}{2}}$ 交 $A B$ 于点 $Q$ ，当 $| A Q | + | C P |$ 最小时，则 $a$ 的值为．

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11. 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上任意一点 $P$ ， $Q$ 与 $P$ 关于 $x$ 轴对称，若有 $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{F_{2} P} \leq 1$ ，则 $\vec{F_{1} P}$ 与 $\vec{F_{2} Q}$ 的夹角范围为．

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12. 已知集合 $A = [t ， t + 1] \cup [t + 4 ， t + 9]$ ， $0 \notin A$ ，存在正数 $λ$ ，使得对任意 $a \in A$ ，都有 $\frac{λ}{a} \in A$ ，则 $t$ 的值是．

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二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 下列函数中，值域为 $[0 ， + \infty)$ 的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = \cos x$

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14. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，则“ $a^{2} > b^{2}$ ”是“ $| a | > | b |$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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15. 已知平面 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 两两垂直，直线 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足： $a \subseteq α$ ， $b \subseteq β$ ， $c \subseteq γ$ ，则直线 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 不可能满足以下哪种关系（）

A、两两垂直 B、两两平行 C、两两相交 D、两两异面

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16. 以 $(a_{1} ， 0)$ ， $(a_{2} ， 0)$ 为圆心的两圆均过 $(1 ， 0)$ ，与轴正半轴分别交于 $(y_{1} ， 0)$ ， $(y_{2} ， 0)$ ，且满足 $\ln y_{1} + \ln y_{2} = 0$ ，则点 $(\frac{1}{a_{1}} ， \frac{1}{a_{2}})$ 的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线

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三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）

17. 如图，在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 2$ ， $A B = B C = A C = \sqrt{3}$ ．

(1)、若 $P B$ 的中点为 $M$ ， $B C$ 的中点为 $N$ ，求 $A C$ 与 $M N$ 的夹角；

(2)、求 $P - A B C$ 的体积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{4} = 15$ ，求 $S_{n}$ ；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $\lim_{x \to \infty} s_{n} < 12$ ，求公比 $q$ 的取值范围．

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19. 改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年

年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．

年份	卫生总费用（亿元）	个人现金卫生支出		社会卫生支出		政府卫生支出
年份	卫生总费用（亿元）	绝对数（亿元）	占卫生总费用比重	绝对数（亿元）	占卫生总费用比重	绝对数（亿元）	占卫生总费用比重
2012	28119.00	9656.32	34.34	10030.70	35.67	8431.98	29.99
2013	31668.95	10729.34	33.88	11393.79	35.98	9545.81	30.14
2014	35312.40	11295.41	31.99	13437.75	38.05	10579.23	29.96
2015	40974.64	11992.65	29.27	16506.71	40.29	12475.28	30.45

（数据来源于国家统计年鉴）

(1)、指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：

(2)、设

t = 1

表示1978年，第

n

年卫生总费用与年份

t

之间拟合函数

f (t) = \frac{357876.6053}{1 + e^{6.4420 - 0.1136 t}}

研究函数

f (t)

的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．

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20. 已知抛物线方程 $y^{2} = 4 x$ ， $F$ 为焦点， $P$ 为抛物线准线上一点， $Q$ 为线段 $P F$ 与抛物线的交点，定义： $d (P) = \frac{| P F |}{| F Q |}$ ．

(1)、当 $P (- 1 ， - \frac{8}{3})$ 时，求 $d (P)$ ；

(2)、证明：存在常数 $a$ ，使得 $2 d (P) = | P F | + a$ ；

(3)、 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 为抛物线准线上三点，且 $| P_{1} P_{2} | = | P_{2} P_{3} |$ ，判断 $d (P_{1}) + d (P_{3})$ 与 $2 d (P_{2})$ 的关系．

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21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \in (0 ， π]$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \sin (a_{n})$ ，集合 $S = {x | x = b_{n} ， n \in N^{*}}$ ．

(1)、若 $a_{1} = 0 ， d = \frac{2 π}{3}$ ，求集合 $S$ ；

(2)、若 $a_{1} = \frac{π}{2}$ ，求 $d$ 使得集合 $S$ 恰好有两个元素；

(3)、若集合 $S$ 恰好有三个元素：b_n+T=b_n ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．

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