2016-2017学年云南省楚雄州姚安一中高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-27 类型：期中考试

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一、选择题：

1. 设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|x²﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁_UB）=（）

A、（0，2] B、（﹣1，2] C、[﹣1，2] D、[2，+∞）

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2. 复数（1﹣ $\sqrt{2}$ i）•i的虚部是（）

A、1 B、﹣1 C、i D、﹣i

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3. 已知| $\vec{a}$ |=1，| $\vec{b}$ |=2，向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为60°，则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、1 D、2

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4. 等差数列{a_n}中，若a₁+a₄+a₇=39，a₃+a₆+a₉=27，则前9项的和S₉等于（）

A、66 B、99 C、144 D、297

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5. 在△ABC中，a²=b²+c²+ $\sqrt{3}$ bc，则∠A等于（）

A、60° B、45° C、120° D、150°

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6. 在复平面内，复数z= $\frac{1 - \sqrt{2} i}{i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 已知抛物线x²=2y的焦点与椭圆 $\frac{y^{2}}{m} + \frac{x^{2}}{2}$ =1的一个焦点重合，则m=（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、﹣ $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{3}{2}$

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8. 要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）

A、向左平移1个单位 B、向右平移1个单位 C、向左平移 $\frac{1}{2}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{1}{2}$ 个单位

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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10. 已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）

A、﹣e B、﹣1 C、1 D、e

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11. 设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 函数y= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ sin（x+ $\frac{π}{2}$ ）+cos（ $\frac{π}{6}$ ﹣x）的最大值为（）

A、 $\frac{13}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\sqrt{13}$

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二、填空题：

13. 已知变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \geq 0 \\ y \leq 2 \\ x - y \leq 0 \end{matrix}$ 则z=2x+y的最大值为．

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14. 设tanα=3，则 $\frac{\sin (α - π) + \cos (π - α)}{\sin (\frac{π}{2} - α) + \cos (\frac{π}{2} + α)}$ = ．

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15. 函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0，则f（2）+f'（2）= ．

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16. 已知f（x）=3x²+2x+1，若 $\int_{- 1}^{1}$ f（x）dx=2f（a），则a= ．

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三、解答题：

17. 已知函数f（x）=e^x（x²+x+1），求函数f（x）的单调区间及极值．

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18. 已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C= $\frac{π}{3}$ ．

(1)、若△ABC的面积等于 $\sqrt{3}$ ，求a，b；

(2)、若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．

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19. 在等比数列{a_n}中，a₁=2，a₄=16

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{\log_{2 a_{n}} \cdot \log_{2 a_{n + 1}}}$ ，n∈N^* ，求数列{b_n}的前n项和S_n ．

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20. 如图，在直三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，AB=AC=AA₁ ， $B C = \sqrt{2} A B$ ，点D是BC的中点．
（I）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（II）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（III）求二面角A﹣A₁B﹣D的余弦值．

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21. 已知函数f（x）=x²+ax﹣lnx，a∈R．

(1)、若a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)、若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

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22. 设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求这个椭圆的方程；

(2)、若这个椭圆左焦点为F₁ ，右焦点为F₂ ，过F₁且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF₂的面积．

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