2016-2017学年广东省揭阳市惠来一中高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-27 类型：期中考试

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一、选择题

1. 有一段“三段论”，其推理是这样的：
对于可导函数f（x），若f′（x₀）=0，则x=x₀是函数f（x）的极值点…大前提因为函数f（x）=x³满足f′（0）=0，…小前提所以x=0是函数f（x）=x³的极值点”，结论以上推理（）

A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、没有错误

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2. 已知i是虚数单位，若z₁=2+i，z₂=1﹣i，则 $z = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ 在复平面内的对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 数列{a_n}为等差数列，a₁ ， a₂ ， a₃为等比数列，a₅=1，则a₁₀=（）

A、5 B、﹣1 C、0 D、1

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4. 7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是（）

A、7³ B、3⁷ C、 $A_{7}^{3}$ D、 $C_{7}^{3}$

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5. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. 用数学归纳法证明1²+2²+…+（n﹣1）²+n²+（n﹣1）²+…+2²+1²═ $\frac{n (2 n^{2} + 1)}{3}$ 时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）

A、（k+1）²+2k² B、（k+1）²+k² C、（k+1）² D、 $\frac{1}{3} (k + 1) [2 {(k + 1)}^{2} + 1]$

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7. 我们知道：在平面内，点（x₀ ， y₀）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d= $\frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ ，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离为（）

A、3 B、5 C、 $\frac{5 \sqrt{21}}{7}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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8. 已知a＞b＞0，椭圆C₁的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1，双曲线C₂的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1，C₁与C₂的离心率之积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则C₂的渐近线方程为（）

A、x± $\sqrt{2}$ y=0 B、 $\sqrt{2}$ x±y=0 C、x±2y=0 D、2x±y=0

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9. 中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（）

A、A₁₈¹⁸种 B、A₂₀²⁰种 C、A₃²A₁₈³A₁₀¹⁰种 D、A₂²A₁₈¹⁸种

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10. 已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象如图，则函数y=lnf′（x）的单调减区间为（）

A、[0，3） B、[﹣2，3] C、（﹣∞，﹣2） D、[3，+∞）

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11. 在校庆文娱汇演节目中，高二级有3名男生3名女生站成一列合唱“爱我中华”，恰好有两位女同学站在一起的站法一共有（）

A、216种 B、288种 C、360种 D、432种

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12. 已知函数g（x）=a﹣x²（ $\frac{1}{e}$ ≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（　　）

A、[1， $\frac{1}{e^{2}}$ +2] B、[1，e²﹣2] C、[ $\frac{1}{e^{2}}$ +2，e²﹣2] D、[e²﹣2，+∞）

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二、填空题

13. 已知复数z满足|z|=1，则|z﹣1﹣i|的最大值为．

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14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，c=2 $\sqrt{2}$ ，且C= $\frac{π}{4}$ ，则△ABC的面积为．

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15. 如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是．

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16.
已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示
x
﹣1
0
2
4
5
F（x）
1
2
1.5
2
1
下列关于函数f（x）的命题；
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．
其中正确命题的序号是．

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17. 已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）﹣|a﹣1|＜0有解，求a的取值范围．

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18. 数列{a_n}满足 $S_{n} = 2 n - a_{n} (n \in N *)$

(1)、计算a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄

(2)、猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

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19. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，将y=f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到函数y=g（x）的图象．

(1)、求函数y=g（x）的解析式；

(2)、在△ABC中，角A，B，C满足2sin² $\frac{A + B}{2}$ =g（C+ $\frac{π}{3}$ ）+1，且其外接圆的半径R=2，求△ABC的面积的最大值．

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20. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD= $\sqrt{3}$ ，求三棱锥E﹣ACD的体积．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（1，0），点P（1， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过坐标原点O的两条直线EF，MN分别与椭圆C交于E，F，M，N四点，且直线OE，OM的斜率之积为﹣ $\frac{1}{2}$ ，求证：四边形EMFN的面积为定值．

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22. 已知函数f（x）=xlnx

(1)、求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x) = \frac{f (x) - a}{x}$ 在[1，e]上的最小值为 $\frac{3}{2}$ ，求a的值；

(3)、若k∈Z，且f（x）+x﹣k（x﹣1）＞0对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

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x	﹣1	0	2	4	5
F（x）	1	2	1.5	2	1