2019年高考文数真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2019-06-09 类型：高考真卷

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一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。

1. 设集合 $A = {- 1, 1, 2, 3, 5}, B = {2, 3, 4}, C = {x \in R | 1 ⩽ x < 3}$ ，则 $(A \cap C) \cup B =$ （）

A、{2} B、{2，3} C、{-1，2，3} D、{1，2，3，4}

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2. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 ， \\ x - y + 2 \geq 0 ， \\ x ⩾ - 1 ， \\ y ⩾ - 1 ， \end{array}$ 则目标函数 $z = - 4 x + y$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、5 D、6

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - 5 x < 0$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 $S$ 的值为（）

A、5 B、8 C、24 D、29

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5. 已知 $a = \log_{2} 7, b = \log_{3} 8, c = {0.3}^{0.2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l.若与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别交于点A和点B ，且 $| A B | = 4 | O F |$ （O为原点），则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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7. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < π)$ 是奇函数，且 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，将 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g (x)$ .若 $g (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ，则 $f (\frac{3 π}{8}) =$ （）

A、-2 B、- $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 \sqrt{x} ， 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{x} ， x > 1 \end{matrix}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = - \frac{1}{4} x + a (a \in R)$ 恰有两个互异的实数解，则的取值范围为（）

A、 $[\frac{5}{4} ， \frac{9}{4}]$ B、 $(\frac{5}{4} ， \frac{9}{4}]$ C、 $(\frac{5}{4} ， \frac{9}{4}] \cup {1}$ D、 $[\frac{5}{4} ， \frac{9}{4}] \cup {1}$

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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. $i$ 是虚数单位，则 $| \frac{5 - i}{1 + i} |$ 的值为.

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10. 设 $x \in R$ ，使不等式 $3 x^{2} + x - 2 < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围为.

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11. 曲线 $y = \cos x - \frac{x}{2}$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程为.

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12. 已知四棱锥的底面是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，侧棱长均为 $\sqrt{5}$ .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.

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13. 设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 4$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{x y}$ 的最小值为.

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14. 在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， A B = 2 \sqrt{3} ， A D = 5 ， ∠ A = 30^{\circ}$ ，点 $E$ 在线段 $C B$ 的延长线上，且 $A E = B E$ ，则 $\vec{B D} \cdot \vec{A E} =$ .

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三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15. 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有

72 ， 108 ， 120

人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.

（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 $A ， B ， C ， D ， E ， F$ .享受情况如右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

员工项目	A	B	C	D	E	F
子女教育	○	○	×	○	×	○
继续教育	×	×	○	×	○	○
大病医疗	×	×	×	○	×	×
住房贷款利息	○	○	×	×	○	○
住房租金	×	×	○	×	×	×
赡养老人	○	○	×	×	×	○

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设 $M$ 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 $M$ 发生的概率.

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $b + c = 2 a$ ， $3 c \sin B = 4 a \sin C$ .
（Ⅰ）求 $\cos B$ 的值；

（Ⅱ）求 $\sin (2 B + \frac{π}{6})$ 的值.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $△ P C D$ 为等边三角形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P C D$ ， $P A ⊥ C D$ ， $C D = 2 ， A D = 3$ ，

（Ⅰ）设 $G ， H$ 分别为 $P B ， A C$ 的中点，求证： $C H ∥$ 平面 $P A D$ ；

（Ⅱ）求证： $P A ⊥$ 平面 $P C D$ ；

（Ⅲ）求直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值.

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18. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，公比大于0，已知 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{3} = 4 a_{2} + 3$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{matrix} 1, n 为奇数 \\ b_{\frac{n}{2}}, n 为偶数 \end{matrix}$ 求 $a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + \dots + a_{2 n} c_{2 n} (n \in N^{*})$ .

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19. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，顶点为B.已知 $\sqrt{3} | O A | = 2 | O B |$ （ $O$ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点 $F$ 且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $p$ ，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x = 4$ 上，且 $O C ∥ A P$ ，求椭圆的方程.

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20. 设函数 $f (x) = \ln x - a (x - 1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ .
（Ⅰ）若 $a \leq 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $0 < a < \frac{1}{e}$ ，
（i）证明 $f (x)$ 恰有两个零点
（ii）设 $x$ 为 $f (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为 $f (x)$ 的零点，且 $x_{1} > x_{0}$ ，证明 $3 x_{0} - x_{1} > 2$ .

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