2019年高考理数真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2019-06-09 类型：高考真卷

进入出卷网下载

一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。

1. 设集合 $A = {- 1, 1, 2, 3, 5}, B = {2, 3, 4}, C = {x \in R | 1 ⩽ x < 3}$ ，则 $(A \cap C) \cup B =$ （）

A、{2} B、{2，3} C、{-1，2，3} D、{1，2，3，4}

查看试题解析
2. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 ， \\ x - y + 2 \geq 0 ， \\ x ⩾ - 1 ， \\ y ⩾ - 1 ， \end{array}$ 则目标函数 $z = - 4 x + y$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、5 D、6

查看试题解析
3. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - 5 x < 0$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 $S$ 的值为（）

A、5 B、8 C、24 D、29

查看试题解析
5. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，若 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，且 $| A B | = 4 | O F |$ （ $O$ 为原点），则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
6. 已知 $a = \log_{5} 2$ ， $b = \log_{0.5} 0.2$ ， $c = {0.5}^{0.2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < π)$ 是奇函数，将 $y = f (x)$ 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 $g (x)$ .若 $g (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ，且 $g (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ，则 $f (\frac{3 π}{8}) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

查看试题解析
8. 已知 $a \in R$ ，设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 2 a, & x ⩽ 1, \\ x - a \ln x, & x > 1, \end{array}$ 若关于 $x$ 的不等式 $f (x) ⩾ 0$ 在 $R$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[0, e]$ D、 $[1, e]$

查看试题解析

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. $i$ 是虚数单位，则 $| \frac{5 - i}{1 + i} |$ 的值为.

查看试题解析
10. ${(2 x - \frac{1}{8 x^{3}})}^{8}$ 是展开式中的常数项为.

查看试题解析
11. 已知四棱锥的底面是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，侧棱长均为 $\sqrt{5}$ .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.

查看试题解析
12. 设 $a \in R$ ，直线 $a x - y + 2 = 0$ 和圆 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos θ, \\ y = 1 + 2 \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）相切，则 $a$ 的值为.

查看试题解析
13. 设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 5$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{\sqrt{x y}}$ 的最小值为.

查看试题解析
14. 在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， A B = 2 \sqrt{3} ， A D = 5 ， ∠ A = 30^{\circ}$ ，点 $E$ 在线段 $C B$ 的延长线上，且 $A E = B E$ ，则 $\vec{B D} \cdot \vec{A E} =$ .

查看试题解析

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $b + c = 2 a$ ， $3 c \sin B = 4 a \sin C$ .
（Ⅰ）求 $\cos B$ 的值；

（Ⅱ）求 $\sin (2 B + \frac{π}{6})$ 的值.

查看试题解析
16. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 $\frac{2}{3}$ .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 $X$ 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设 $M$ 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 $M$ 发生的概率.

查看试题解析
17. 如图， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F ∥ A E ， A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ A B ， A B = A D = 1 ， A E = B C = 2$ .

（Ⅰ）求证： $B F ∥$ 平面 $A D E$ ；

（Ⅱ）求直线 $C E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $E - B D - F$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $C F$ 的长.

查看试题解析
18. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$ 为直线 $P B$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上.若 $| O N | = | O F |$ （ $O$ 为原点），且 $O P ⊥ M N$ ，求直线 $P B$ 的斜率.

查看试题解析
19. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列.已知 $a_{1} = 4, b_{1} = 6 ， b_{2} = 2 a_{2} - 2, b_{3} = 2 a_{3} + 4$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{1} = 1, c_{n} = {\begin{array}{l} 1, 2^{k} < n < 2^{k + 1}, \\ b_{k}, n = 2^{k}, \end{array}$ 其中 $k \in N^{*}$ .

（i）求数列 ${a_{2^{n}} (c_{2^{n}} - 1)}$ 的通项公式；

（ii）求 $\sum_{i = 1}^{2^{n}} a_{i} c_{i} (n \in N^{*})$ .

查看试题解析
20. 设函数 $f (x) = e^{x} \cos x, g (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）当 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 时，证明 $f (x) + g (x) (\frac{π}{2} - x) ⩾ 0$ ；

（Ⅲ）设 $x_{n}$ 为函数 $u (x) = f (x) - 1$ 在区间 $(2 m + \frac{π}{4}, 2 m π + \frac{π}{2})$ 内的零点，其中 $n \in N$ ，证明 $2 n π + \frac{π}{2} - x_{n} < \frac{e^{- 2 n π}}{\sin x_{0} - \cos x_{0}}$ .

查看试题解析