2019年高考理数真题试卷（全国Ⅲ卷）

试卷更新日期：2019-06-09 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x²≤1}，则A∩B=（）

A、{-1，0，1} B、{0，1} C、{-1，1} D、{0，1，2}

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2. 若z（1+i）=2i，则z=（）

A、-1-i B、-1+i C、1-i D、1+i

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3. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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4. (1+2x²)(1+x)⁴的展开式中x³的系数为（）

A、12 B、16 C、20 D、24

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5. 已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前4项和为15，且a₅=3a₃+4a₁ ，则a₃=（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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6. 已知曲线y=ae^x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）

A、a=e，b=-1 B、a=e，b=1 C、a=e^-1 ， b=1 D、a=e^-1 ， b=-1

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7. 函数 $y = \frac{2 x^{3}}{2^{x} + 2^{- x}}$ ，在[-6，6]的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD ， M是线段ED的中点，则（）

A、BM=EN ，且直线BM、EN 是相交直线 B、BM≠EN ，且直线BM ， EN 是相交直线 C、BM=EN ，且直线BM、EN 是异面直线 D、BM≠EN ，且直线BM ， EN 是异面直线

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9. 执行下边的程序框图，如果输入的 $ε$ 为0.01，则输出 $s$ 的值等于（）

A、 $2 - \frac{1}{2^{4}}$ B、 $2 - \frac{1}{2^{5}}$ C、 $2 - \frac{1}{2^{6}}$ D、 $2 - \frac{1}{2^{7}}$

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10. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的右焦点为F，点P 在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|=|PF|，则△PFO的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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11. 设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）

A、 $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}）＞ $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ） B、 $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}）＞ $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ） C、 $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ）＞ $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}） D、 $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ）＞ $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}）

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12. 设函数f（x）=sin（ωx+ $\frac{π}{5}$ ）（ω>0），已如f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0， $\frac{π}{10}$ ）单调递增④ω的取值范围[ $\frac{12}{5}$ ， $\frac{29}{10}$ ）其中所有正确结论的编号是（）

A、①④ B、②③ C、①②③ D、①③④

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二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13. 已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- $\sqrt{5}$ b，则cos<a，c>=。

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14. 记S_n为等差数列{a_n}项和，若a₁≠0，a₂=3a₁ ，则 $\frac{S_{10}}{S_{5}}$ =。

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15. 设F₁ ， F₂为椭圆C： $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF₁F₂为等腰三角形，则M的坐标为。

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16. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，挖去四棱推O一EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA₁=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm² ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.

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三、解答题，共70分，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答：

17. 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.

(1)、求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

(2)、分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

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18. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$

(1)、求B；

(2)、若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

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19. 图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFCC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DC，如题2.

(1)、证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)、求图2中的二面角B-CG-A的大小.

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20. 已知函数f（x）=2x³-ax²+b.

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。

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21. 已知曲线C: $y = \frac{x^{2}}{2}$ ，D为直线y=- $\frac{1}{2}$ 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

(1)、证明：直线AB过定点；

(2)、若以E（0， $\frac{5}{2}$ ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

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四、选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（ $\sqrt{2}$ ， $\frac{π}{4}$ ），C（ $\sqrt{2}$ ， $\frac{3 π}{4}$ ），D（2，π），弧 $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{B C}$ ， $\overset{⌢}{C D}$ 所在圆的圆心分别是（1，0），（1， $\frac{π}{2}$ ），（1，π），曲线M₁是弧 $\overset{⌢}{A B}$ ，曲线M₂是弧 $\overset{⌢}{B C}$ ，曲线M₃是弧 $\overset{⌢}{C D}$ 。

(1)、分别写出M₁ ， M₂ ， M₃的极坐标方程；

(2)、曲线由M₁ ， M₂ ， M₃构成，若点P在M上，且|OP|= $\sqrt{3}$ ，求P的极坐标。

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23. 设x，y，z∈R，且x+y+z=1，

(1)、求（x-1）²+（y+1）²+（z-1）²的最小值；

(2)、若（x-2）²+（y-1）²+（z-2）²≥ $\frac{1}{3}$ 成立，证明：a≤-3或a≥-1。

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