2019年高考文数真题试卷（全国Ⅰ卷）

试卷更新日期：2019-06-08 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题检出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设z= $\frac{3 - i}{1 + 2 i}$ ，则|z|=（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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2. 已知集合U= ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ ，A= ${2, 3, 4, 5}$ ，B= ${2, 3, 6, 7}$ 则 $B \cap ∁_{U} A$ =（）

A、 ${1, 6}$ B、 ${1, 7}$ C、 ${6, 7}$ D、 ${1, 6, 7}$

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3. 已知a=log₂0.2，b= $2^{0.2}$ ，c= ${0.2}^{0.3}$ ，则（）

A、a<b<c B、a<c<b C、c<a<b D、b<c<a

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4. 古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} (\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）

A、165cm B、175cm C、185cm D、190cm

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5. 函数f(x)= $\frac{\sin x + x}{\cos x + x^{2}}$ 在[- $π$ ， $π$ ]。的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，……，1000。从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）

A、8号学生 B、200号学生 C、616号学生 D、815号学生

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7. tan255°=（）

A、 $- 2 - \sqrt{3}$ B、 $- 2 + \sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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8. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=2| $\vec{b}$ |，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9. 下图是求 $\frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}$ 的程序框图，图中空白框中应填入（）

A、A= $\frac{1}{2 + A}$ B、A=2+ $\frac{1}{A}$ C、A= $\frac{1}{1 + 2 A}$ D、A=1+ $\frac{1}{2 A}$

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10. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）

A、2sin40° B、2cos40° C、 $\frac{1}{\sin 50^{。}}$ D、 $\frac{1}{\cos 50^{。}}$

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11. ∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA= $- \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{b}{c}$ =（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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12. 已知椭圆C的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）。过F₂的直线与C交于A，B两点。若|AF₂|=2|F₂B|，|AB|=|BF₁|，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2}$ +y²=1 B、 $\frac{x^{2}}{3}$ + $\frac{y^{2}}{2}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{3}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{5}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1

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二、填空题

13. 曲线y=3(x²+x)e^x在点(0，0)处的切线方程为.

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14. 记S_n为等比数列{a_n}的前n项和。若a₁= $\frac{1}{3}$ ， $S_{3} = \frac{3}{4}$ _，则S₄=

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15. 函数f(x)=sin(2x+ $\frac{3 π}{2}$ )-3cosx的最小值为.

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16. 已知 $∠$ ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到 $∠$ ACB两边AC，BC的距离均为 $\sqrt{3}$ ，那么P到平面ABC的距离为。

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意

不满意

男顾客

40

10

女顾客

30

20

(1)、分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)、能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K²⁼ $\frac{m {(a d - b c)}^{2}}{（ a+b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

P（K²≧k） 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

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18. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知S_n=-a₅

(1)、若a₃=4，求{a_n}的通项公式。

(2)、若a₁≥0，求使得S_n≥a_n的n取值范围。

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19. 如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2， $∠$ BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁ ， A₁D的中点

(1)、证明：MN∥平面C₁DE；

(2)、求点C到平面C₁DE的距离。

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20. 已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f‘(x)为f(x)的导数。

(1)、证明：f'(x)在区间(0， π)存在唯一零点；

(2)、若xϵ[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围。

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21. 已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切。

(1)、若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径。

(2)、是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由。

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四、选考题，共10分。请考生在第22、23题中任选一直作答。如果多做。则按所做的第一题计分。

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{cases} x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \\ y = \frac{4 t}{1 + t^{2}} \end{cases}$ （t为参数）。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ $\sqrt{3}$ ρsinθ+11=0。

(1)、求C和l的直角坐标方程；

(2)、求C上的点到l距离的最小值。

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23. 已知a，b，c为正数，且满足abc=1。证明：

(1)、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ；

(2)、(a+b)³+(b+c)³+(c+a)³≥24。

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	满意	不满意
男顾客	40	10
女顾客	30	20

P（K²≧k）	0.050 0.010 0.001
k	3.841 6.635 10.828