2019年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）

试卷更新日期：2019-06-08 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合M= ${x | - 4 < x < 2}$ ，N= ${x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ，则M $\cap$ N=（）

A、 ${x | - 4 < x < 3}$ B、 ${x | - 4 < x < - 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 2}$ D、 ${x | 2 < x < 3}$

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2. 设复数z满足 $| z - i | = 1$ ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$

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3. 已知a=log₂0.2，b= $2^{0.2}$ ，c= ${0.2}^{0.3}$ ，则（）

A、a<b<c B、a<c<b C、c<a<b D、b<c<a

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4. 古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} (\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）

A、165cm B、175cm C、185cm D、190cm

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5. 函数f(x)= $\frac{\sin x + x}{\cos x + x^{2}}$ 在[- $π$ ， $π$ ]。的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--"，下图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{11}{32}$ C、 $\frac{21}{32}$ D、 $\frac{11}{16}$

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7. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=2| $\vec{b}$ |，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 下图是求 $\frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}$ 的程序框图，图中空白框中应填入（）

A、A= $\frac{1}{2 + A}$ B、A=2+ $\frac{1}{A}$ C、A= $\frac{1}{1 + 2 A}$ D、A=1+ $\frac{1}{2 A}$

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9. 记S_n为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和。已知 $S_{4}$ =0， $a_{5}$ =5，则（）

A、a_n=2n-5 B、a_n=3n-10 C、S_n=2n²-8n D、S_n= $\frac{1}{2}$ n²-2n

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10. 已知椭圆C的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）。过F₂的直线与C交于A，B两点。若|AF₂|=2|F₂B|，|AB|=|BF₁|，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2}$ +y²=1 B、 $\frac{x^{2}}{3}$ + $\frac{y^{2}}{2}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{3}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{5}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1

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11. 关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数      ②f(x)在区间 $（ \frac{π}{2} ， π ）$ 单调递增

③f(x)在[-π，π]有4个零点          ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（   ）

A、①②④ B、②④ C、①④ D、①③

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12. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，∆ABC是边长为2的正三角形，E、F，分别是PA，AB的中点， $∠$ CEF=90°，则球O的体积为（）

A、 $8 \sqrt{6} π$ B、 $4 \sqrt{6} π$ C、 $2 \sqrt{6} π$ D、 $\sqrt{6} π$

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二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 曲线y=3(x²+x)e^x在点(0，0)处的切线方程为.

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14. 记S_n为等比数列{a_n}的前n项和。若a₁= $\frac{1}{3}$ ， $a_{4}^{2} = 6$ _，则S₅=

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15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是

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16. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁_，F₂_，过F₁的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点。若 $\vec{F_{1} A}$ = $\vec{A B}$ ， $\vec{F_{1} B}$ · $\vec{F_{2} B}$ =0，则C的离心率为。

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. ∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC。

(1)、求A；

(2)、若 $\sqrt{2} a + b = 2 c$ ,求sinC.

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18. 如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2， $∠$ BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁ ， A₁D的中点

(1)、证明：MN∥平面C₁DE；

(2)、求二面角A-MA₁-N的正弦值。

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19. 已知抛物线C：y²=3x的焦点为F，斜率为 $\frac{3}{2}$ 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。

(1)、若|AF|+|BF|=4,求l的方程：

(2)、若 $\vec{A P} = 3 \vec{P B}$ ,求|AB|。

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20. 已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。证明：

(1)、f’(x)在区间(-1， $\frac{π}{2}$ )存在唯一极大值点；

(2)、f(x)有且仅有2个零点。

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21. 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X。

(1)、求X的分布列；

(2)、若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p_i(i=0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效“的概率，则P₀=0，P₈=1，p_i=ap_i-1+bp_i+cp_i+1(i=1，2，…，7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)。假设α=0.5，β=0.8。
(i)证明： ${P_{i + 1} - P_{i}}$ （i=0，1，2，…，7）为等比数列；

(ii)求P₄ ，并根据P₄的值解释这种试验方案的合理性。

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四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{cases} x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \\ y = \frac{4 t}{1 + t^{2}} \end{cases}$ （t为参数）。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ $\sqrt{3}$ ρsinθ+11=0。

(1)、求C和l的直角坐标方程；

(2)、求C上的点到l距离的最小值。

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23. 已知a，b，c为正数，且满足abc=1。证明：

(1)、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ；

(2)、(a+b)³+(b+c)³+(c+a)³≥24。

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