广东省广州市2019届高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-06-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = m (3 + i) - (2 + i)$ 在复平面内对应的点在第三象限，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{2}{3}, 1)$ D、 $(- \infty, \frac{2}{3}) \cup^{} (1, + \infty)$

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2. 已如集合 $A = {x | 1 - \frac{8}{x - 2} < 0}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 ${x | x < 2$ 或 $x ⩾ 6}$ B、 ${x | x ⩽ 2$ 或 $x ⩾ 6}$ C、 ${x | x < 2$ 或 $x ⩾ 10}$ D、 ${x | x ⩽ 2$ 或 $x \geq 10}$

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3. 某公司生产 $A$ ， $B$ ， $C$ 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 $2 : 3 : 4$ ，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为 $n$ 的样本，若样本中 $A$ 种型号的轿车比 $B$ 种型号的轿车少8辆，则 $n =$ （）

A、96 B、72 C、48 D、36

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4. 执行如图所示的程序框图，则输出 $z$ 的值是（）

A、21 B、22 C、23 D、24

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5. 已知点 $A$ 与点 $B (1, 2)$ 关于直线 $x + y + 3 = 0$ 对称，则点 $A$ 的坐标为（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(4, 5)$ C、 $(- 4, - 3)$ D、 $(- 5, - 4)$

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6. 从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为 $ξ$ ，则数学期望 $E ξ =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、1 C、 $\frac{7}{5}$ D、2

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7. 已知 $sin α + cos α = \frac{1}{5}$ ，其中 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $\frac{24}{7}$

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8. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的左焦点 $F$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{a^{2}}{9}$ 的切线，切点为 $E$ ，延长 $F E$ 交双曲线右支于点 $P$ ，若 $\overset{⇀}{F P} = 2 \overset{⇀}{F E}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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9. 若曲线 $y = x^{3} - 2 x^{2} + 2$ 在点 $A$ 处的切线方程为 $y = 4 x - 6$ ，且点 $A$ 在直线 $m x + n y - 1 = 0$ （其中 $m > 0$ ， $n > 0$ ）上，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $6 + 4 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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10. 函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图像如图所示，先把函数 $y = f (x)$ 图像上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，则函数 $y = g (x)$ 的图像的一条对称轴为（）

A、 $x = \frac{3 π}{4}$ B、 $x = \frac{π}{4}$ C、 $x = - \frac{π}{4}$ D、 $x = - \frac{3 π}{4}$

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11. 已知点 $P$ 在直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 上，点 $Q$ 在直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 上， $P Q$ 的中点为 $M (x_{0}, y_{0})$ ，且 $1 ⩽ y_{0} - x_{0} ⩽ 7$ ，则 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的取值范围为（）

A、 $[2, \frac{12}{5}]$ B、 $[- \frac{2}{5}, 0]$ C、 $[- \frac{5}{16}, \frac{1}{4}]$ D、 $[- 2, \frac{2}{5}]$

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12. 若点 $A (t, 0)$ 与曲线 $y = e^{x}$ 上点 $P$ 的距离的最小值为 $2 \sqrt{3}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、 $4 - \frac{ln 2}{3}$ B、 $4 - \frac{ln 2}{2}$ C、 $3 + \frac{ln 3}{3}$ D、 $3 + \frac{ln 3}{2}$

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二、填空题

13. 若 $\overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{e_{2}}$ 是夹角为 $60^{°}$ 的两个单位向量，向量 $\overset{⇀}{a} = 2 \overset{⇀}{e_{1}} + \overset{⇀}{e_{2}}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} | =$ .

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14. 若 ${(a x - 1)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是80，则实数 $a$ 的值是.

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15. 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，共中 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边为.若 $sin C = 2 sin A cos B$ ，且 $b^{2}$ ，1， $c^{2}$ 成等差数列，则 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最大值为.

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16. 有一个底面半径为 $R$ ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为 $a$ 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则 $a$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 是递增的等比数列， $a_{2} + a_{3} = 4$ ， $a_{1} a_{4} = 3$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：

$x$ （年龄/岁）	26	27	39	41	49	53	56	58	60	61
$y$ （脂肪含量/%）	14.5	17.8	21.2	25.9	26.3	29.6	31.4	33.5	35.2	34.6

根据上表的数据得到如下的散点图.

(1)、根据上表中的样本数据及其散点图：

（i）求 $\bar{x}$ ；

（i）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.

(2)、若

y

关于

x

的线性回归方程为

\hat{y} = 1.56 + \hat{b} x

，求

\hat{b}

的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.

附：参考数据： $\bar{y} = 27$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 13527.8$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 23638$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i}^{2} = 7759.6$ ， $\sqrt{43} \approx 6.56$ ， $\sqrt{2935} \approx 54.18$ ，

参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ $= \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {(\bar{y})}^{2}}}$

回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = 60^{°}$ ， $∠ A P D = 90^{°}$ ，且 $A D = P B$ .

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D ⊥ P B$ ，求二面角 $D - P B - C$ 的余弦值.

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20. 在平面直角坐标系中，动点 $M$ 分别与两个定点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ 的连线的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $(- 1, 0)$ 的直线与轨迹 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，判断直线 $x = - \frac{5}{2}$ 与以线段 $P Q$ 为直径的圆的位置关系，并说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{k}{x^{2}}$ $(k \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $k$ 的取值范围，并证明 $x_{1} + x_{2} > 2 \sqrt{- 2 k}$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + t c o s α, \\ y = \sqrt{3} + t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.在以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = 2 ρ cos θ + 8$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程与曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 4 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | - a$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) > x + 1$ ；

(2)、若存在实数x，使得 $f (x) < \frac{1}{2} f (x + 1)$ 成立，求实数a的取值范围.

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