福建省泉州市2019届普通高中毕业班文数第二次质量检查试卷

试卷更新日期：2019-06-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 \leq 0, x \in N}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${1, 2, 3}$ B、 ${3, 4, 5}$ C、 ${4, 5}$ D、 ${x | x < 0$ 或 $x > 3}$

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2. 设复数 $z = a + i (a \in R)$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ .若 $z + \bar{z} = 4$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、4 D、5

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3. 已知双曲线 $E : x^{2} - \frac{y^{2}}{n} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则 $E$ 的两焦点坐标分别为（）

A、 $(- \sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, 0)$ B、 $(0, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$ C、 $(- \sqrt{5}, 0), (\sqrt{5}, 0)$ D、 $(0, - \sqrt{5}), (0, \sqrt{5})$

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4. 根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年425名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误的是（）

学科人数	物理	化学	生物	政治	历史	地理
124	√	√	×	×	×	√
101	×	×	√	×	√	√
86	×	√	√	×	×	√
74	√	×	√	×	√	×

A、前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合 B、前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数 C、整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数 D、整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数

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5. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 \leq 0 ， \\ x + y - 3 \leq 0 ， \\ 2 x + y - 4 \geq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = x + 2 y$ 的最大值等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的侧棱长为3， $M ， N$ 分别为 $A B ， A C$ 的中点， $P M ⊥ P N$ ，则 $A B =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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7. 已知曲线 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位，得到的曲线 $y = g (x)$ 经过点 $(- \frac{π}{12} ， 1)$ ，则（）

A、函数 $y = g (x)$ 的最小正周期 $T = \frac{π}{2}$ B、函数 $y = g (x)$ 在 $[\frac{11π}{12} ， \frac{17π}{12}]$ 上单调递增 C、曲线 $y = g (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、曲线 $y = g (x)$ 关于点 $(\frac{2π}{3} ， 0)$ 对称

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8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）

A、 $36$ B、 $72$ C、 $108$ D、 $72 \sqrt{3}$

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9. 函数 $f (x) = x^{3} e^{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知 $α, β$ 满足 $sin α = cos β$ ， $sin α cos β - 2 cos α sin β = \frac{1}{2}$ ，则 $cos 2 β =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为 $16 π$ ，则圆柱的体积为（）

A、 $2 π$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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12. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - a e$ ，若存在 $a \in (- 1, 1)$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $f (x) - k \geq 0$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 0)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (t, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 0)$ ，若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 $t =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = e^{| x |} + a x^{2}$ ， $f^{'} (1) = e + 1$ ，则 $f^{'} (- 1) =$ .

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15. 已知 $O$ 是椭圆 $E$ 的对称中心， $F_{1} ， F_{2}$ 是 $E$ 的焦点.以 $O$ 为圆心， $O F_{1}$ 为半径的圆与 $E$ 的一个交点为 $A$ .若 $\vec{A F_{1}}$ 与 $\vec{A F_{2}}$ 的长度之比为2：1，则 $E$ 的离心率等于.

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16. $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .若 $b^{2} = 2 a c cos B$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面上一点，且 $C A ⊥ C D$ ， $C A = C D$ ， $B C = B D$ ， $A D = 2$ ，则 $△ A B D$ 的面积为.

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .已知 $S_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + 2$ .

(1)、证明： ${a_{n}}$ 为等比数列；

(2)、记 $b_{n} = {log}_{2} a_{n}$ ，数列 ${\frac{λ}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .若 $T_{n} \geq 10$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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18. 某仪器配件质量采用

M

值进行衡量．某研究所采用不同工艺，开发甲、乙两条生产线生产该配件．为调查两条生产线的生产质量，检验员每隔

30 min

分别从两条生产线上随机抽取一个配件，测量并记录其M值．下面是甲、乙两条生产线各抽取的

30

个配件的M值．

甲生产线：

$\begin{matrix} 25.43 25.35 25.45 25.39 25.36 25.34 25.98 25.45 25.38 25.42 \\ 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.44 25.42 25.35 25.41 25.43 \\ 25.11 25.32 25.36 25.41 25.34 25.40 25.38 25.37 25.42 25.39 \end{matrix}$

乙生产线：

$\begin{matrix} 25.55 25.43 25.44 25.45 25.46 25.47 25.78 25.46 25.36 25.38 \\ 25.33 25.56 25.39 25.22 25.43 25.31 25.37 25.34 25.32 25.46 \\ 25.46 25.33 25.01 25.43 25.40 25.35 25.36 25.38 25.23 25.40 \end{matrix}$

经计算得 ${\bar{x}}_{甲} = \frac{1}{30} \sum_{i = 1}^{30} x_{i} = 25.405$ ， $s_{甲} = \sqrt{\frac{1}{30} \sum_{i = 1}^{30} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = 0.123$ ，

${\bar{x}}_{乙} = \frac{1}{30} \sum_{i = 1}^{30} y_{i} = 25.395$ ， $s_{乙} = \sqrt{\frac{1}{30} \sum_{i = 1}^{30} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 0.125$ ，其中 $x_{i}, y_{i}$ （ $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 30$ ）分别为甲、乙两生产线抽取的第 $i$ 个配件的M值．

(1)、若规定

M \in (\bar{x} - 3 s, \bar{x} + 3 s)

的产品质量等级为合格，否则为不合格．已知产品不合格率需低于

5 %

，生产线才能通过验收.利用样本估计总体，分析甲、乙两条生产线是否可以通过验收；

(2)、若规定

M \in (\bar{x} - s, \bar{x} + s)

时，配件质量等级为优等，否则为不优等．

①请统计上面提供的数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表．

	产品质量等级优等	产品质量等级不优等	小计
甲生产线
乙生产线
小计

②根据上面的列联表，能否有 $90 %$ 以上的把握认为“配件质量等级与生产线有关”？

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.10$	$0.05$	$0.010$	$0.001$
$k_{0}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

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19. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A ， B$ 在 $C$ 上， $F$ 为线段 $A B$ 的中点， $| A B | = 4$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M ， N$ 两点.若 $C$ 上仅存在三个点 $K_{i} (i = 1 ， 2 ， 3)$ ，使得 $△ M N K_{i}$ 的面积等于16，求 $l$ 的方程.

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20. 已知函数 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) ln x$ ， $g (x) = x - \frac{k}{x}$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ 的极小值点为1；

(2)、若函数 $y = f (x) - g (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 有两个零点，证明： $1 \leq k < \frac{17}{8}$ .

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21. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 + t, \\ y = n t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），其中 $n > 0$ .以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{2} (ρ \in R)$ ，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} cos 2 θ = 1$ .

(1)、求 $C_{1}, C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (- 2, 0)$ ， $l$ 与 $C_{1}$ 交于点 $Q$ ，与 $C_{2}$ 交于 $A, B$ 两点，且 $| P A | \cdot | P B | = {| P Q |}^{2}$ ，求 $l$ 的普通方程.

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22. 已知函数 $f (x) = | x - \frac{1}{4} | + | x + \frac{1}{4} |$ ， $M$ 为不等式 $f (x) \leq 2$ 的解集.

(1)、求 $M$ ；

(2)、证明：当 $a, b \in M$ 时， $2 \sqrt{1 - a b} \geq a - b$ .

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