福建省南平市2019届普通高中毕业班理数第二次（5月)综合质量检查试卷

试卷更新日期：2019-06-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 < 0}$ ， $B = {x | 2^{x} < 1}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）．

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${x | x < 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 0}$ D、 ${x | x 〉 - 2}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = - 2 - i$ ，则 $| z + 1 - i |$ =（）．

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 若直线 $y = \frac{5}{2} x$ 与曲线 $y = m x - ln (2 x + 1)$ 相切于点 $O (0, 0)$ ，则 $m =$ （）．

A、0 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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4. 如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，三角形内的空白部分是由三个半径为3的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（）．

A、 $\frac{3 π}{16}$ B、 $1 - \frac{3 π}{16}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $1 - \frac{3 π}{8}$

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5. 已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则 $Γ$ 的渐近线方程为（）．

A、 $y = \pm 3 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ， $a = 4$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ， $c$ $c o s B = (2 a - b) c o s C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）．

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $6$ D、 $12$

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7. 从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有（）．

A、810种 B、840种 C、1620种 D、1680种

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8. 刘微（225-295），3世纪杰出的数学家，撞长利用切割的方法求几何体的体积，因些他定义了四种基本几何体，其中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）．

A、 $\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2}{3} + \sqrt{2}$ C、 $2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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9. 已知 $A (1 ， - 1)$ ， $B (4 ， 0)$ ， $C (2 ， 2)$ ，平面区域 $E$ 是由所有满足 $\overset{⇀}{A D} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ $(1 \leq λ \leq 2 ， 1 \leq μ \leq 3)$ 的点 $D (x ， y)$ 组成的区域，则区域 $E$ 的面积是（）．

A、8 B、12 C、16 D、20

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10. 已知 ${(1 - x + m x^{2})}^{6}$ 展开式中 $x^{4}$ 的系数小于90，则 $m$ 的取值范围为（）．

A、 $(- \infty, - 5) \cup^{} (1, + \infty)$ B、 $(- 5, 1)$ C、 $(- \infty, - \frac{1 + \sqrt{21}}{2}) \cup^{} (\frac{\sqrt{21} - 1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \sqrt{5}) \cup^{} (\sqrt{5}, + \infty)$

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11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = 3$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $A C = 8$ ， $A B ⊥ B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，若球 $O$ 是三棱锥 $P - A B C$ 的外接球，则球 $O$ 的半径为（）．

A、 $\frac{\sqrt{113}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{93}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{65}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) ， (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图像关于点 $O_{1} (n ， 0)$ 中心对称，关于直线 $l ： x = m$ 对称（直线 $l$ 是与点 $O_{1}$ 距离最近的一条对称轴），过函数 $y = f (x)$ 的图像上的任意一点 $A (x_{0} ， y_{0})$ 作点 $O_{1}$ 、直线 $l$ 的对称点分别为 $A_{1} (x_{1} ， y_{1})$ 、 $A_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，且 $| x_{2} - x_{1} | = \frac{π}{2}$ ，当 $x_{0} = \frac{π}{6}$ 时， $y_{0} = \frac{1}{2}$ ，记函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，则当 $2 f (α) - \sqrt{3} f' (α) = 2$ 时， $c o s 2 a =$ （）．

A、-2 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 单调递减，且为奇函数．若 $f (x - 2) > 0$ ，则 $x$ 的取值范围是．

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14. 已知 $tan (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{cos 2 α}{1 - sin 2 α} =$ ．

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15. 若实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} x - 1 \leq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y + 3}{x + 2}$ 的最小值为．

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16. 已知点 $M (0 ， \sqrt{3})$ 在离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，则该椭圆的内接八边形面积的最大值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且1， $a_{n}$ ， $S_{n}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {log}_{2} a_{1} + {log}_{2} a_{2} + \dots + {log}_{2} a_{n}$ ， $T_{n} = \frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} + \dots + \frac{1}{b_{n + 1}}$ ，求 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A B / / C D ， A B = 2 C D = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = \sqrt{3} ， P C = 3$ ， $△ P A B$ 是正三角形， $E$ 为 $A B$ 的中点，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C E$ ．

(1)、求证： $C E ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、在棱 $P D$ 上是否存在点 $F$ ，使得二面角 $P - A B - F$ 的余弦值为 $\frac{3}{19} \sqrt{38}$ ？若存在，求出 $\frac{P F}{P D}$ 的值；若不存在，说明理由．

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19. 从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)、求这1000件产品质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ （同一组数据用该区间的中点值作代表）

(2)、由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中以 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ．
（ⅰ）利用该正态分布，求 $P (127.6 < Z < 140)$ ；

（ⅱ）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记 $X$ 表示这100件产品中质量指标值为于区间(127.6，140）的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求 $E X$ ．

附： $\sqrt{154} \approx 12.4$ ．若 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9544$ ．

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20. 已知平面上动点 $P$ 到点 $H (1, 0)$ 距离比它到直线 $x = - 2$ 距离少1．

(1)、求动点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ，过点 $H (1, 0)$ 作直线 $l$ 与曲线 $Γ$ 交于 $A, B$ 两点，点 $M (4, 0)$ ，延长 $A M$ ， $B M$ ，与曲线 $Γ$ 交于 $C$ ， $D$ 两点，若直线 $A B$ ， $C D$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，试探究 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值？若为定值，请求出定值，若不为定值，请说明理由．

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21.

(1)、已知函数 $f (x) = \frac{x ln x}{x - a}$ 是 $(1 ， + \infty)$ 上的增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、试比较两数 $\frac{\sqrt[23]{21}}{\sqrt[21]{23}}$ 与 $\frac{21}{23}$ 的大小，并证明你得出的结论．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{12}{1 + {sin}^{2} θ}$ ，射线 $θ = \frac{π}{4} (ρ \geq 0)$ 交曲线 $C$ 于点 $A$ ，倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 过线段 $O A$ 的中点 $B$ 且与曲线 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点．

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程及直线 $l$ 的参数方程；

(2)、当直线 $l$ 倾斜角 $α$ 为何值时， $| B P | \cdot | B Q |$ 取最小值，并求出 $| B P | \cdot | B Q |$ 最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x | + | x - 2 |$ ．

(1)、解不等式： $f (x) < 5$ ；

(2)、当 $x \in R$ 时， $f (x) > a x + 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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