天津市和平区2019届高三下学期理数第二次质量调查试卷

试卷更新日期：2019-06-06 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $M = {x |_{} y = lg (x^{2} - 1)}$ , $N = {x |_{} 0 < x < 2_{}}_{}$ ,则 $(C_{R} M) \cap^{} N =$ （）

A、 ${x |_{} - 2 \leq x \leq 1}$ B、 ${x |_{} 0 < x \leq 1}$ C、 ${x |_{} - 1 \leq x \leq 1}$ D、 ${x |_{} x < 1}$

查看试题解析
2. 已知 $x ，_{} y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + 2 y \leq 4 \\ 2 x + y \leq 4 \\ x \geq 1 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

查看试题解析
3. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $n = 6$ ，则输出 $S =$ （）

A、 $\frac{5}{14}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{27}{56}$ D、 $\frac{3}{10}$

查看试题解析
4. 下列结论错误的是（）

A、命题：“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 2$ ”的逆否命题是“若 $x \neq 2$ ，则 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ” B、“ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的充分不必要条件 C、命题：“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x > 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x \leq 0$ ” D、若“ $p \lor q$ ”为假命题，则 $p, q$ 均为假命题

查看试题解析
5. $f (x) = sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，所得到的图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的值为（）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $- \frac{π}{6}$

查看试题解析
6. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且在 $(- \infty, 0]$ 上是增函数，设 $a = f (ln π),$ $b = f (- {log}_{5} 2),$ $c = f (e^{- \frac{1}{2}}),$ 则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

查看试题解析
7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (c, 0)$ ，直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 与一条渐近线交于点 $P$ ， $Δ P O F$ 的面积为 $a^{2}$ $(O$ 为原点），则抛物线 $y^{2} = \frac{2 b}{a} x$ 的准线方程为（）

A、 $y = \frac{1}{2}$ . B、 $x = 1$ C、 $x = - 1$ D、 $x = \sqrt{2}$

查看试题解析
8. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 2 A C = 6$ ， $\overset{⇀}{B A} \cdot \overset{⇀}{B C} = {\overset{⇀}{B A}}^{2}$ ，点 $P$ 是 $Δ A B C$ 所在平面内的一点，则当 ${\overset{⇀}{P A}}^{2} + {\overset{⇀}{P B}}^{2} + {\overset{⇀}{P C}}^{2}$ 取得最小值时， $\overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- 9$ C、 $7$ D、 $- \frac{2}{5}$

查看试题解析

二、填空题

9. 如果 $\frac{2}{1 - i} = 1 + m i$ （ $m \in R, i$ 表示虚数单位），那么 $m =$ .

查看试题解析
10. 若直线 $y = - x + 2$ 与曲线 ${\begin{matrix} x = - 1 + 2 c o s θ \\ y = 2 + 2 s i n θ \end{matrix}$ ( $θ$ 为参数)交于两点 $A, B$ ，则 $| A B | =$ .

查看试题解析
11. 在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有种.(用数字作答)

查看试题解析
12. 一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为 $2 c m$ 的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为 $\sqrt{2} c m$ 的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为.

查看试题解析
13. 若不等式 $| x - 2 | - | x + 2 | \leq 2^{1 - 3 a}$ 对任意实数 $x$ 都成立,则实数 $a$ 的最大值为.

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{x + 1} - 3 ， x \in (- 1 ， 0] ， \\ 3 x ， x \in (0 ， 1] ， \end{matrix}$ 且函数 $g (x) = f (x) - m x - m$ 在 $(- 1 ， 1]$ 内有且仅有两个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围是.

查看试题解析

三、解答题

15. 已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x - \sqrt{3} sin x cos x$
(Ⅰ)求 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间；

(Ⅱ)在 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是角 $A ， B ， C$ 的对边， $A$ 为锐角，若 $f (A) + sin (2 A - \frac{π}{6}) = 1$ ，且 $Δ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的最小值.

查看试题解析
16. 某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。在规定时间内，他们检索到的图书册数的茎叶图如图所示，规定册数不小于20的为优秀.

(Ⅰ) 从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人，求抽取的4人中至少一人优秀的概率；

(Ⅱ) 从高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取两人，3人中优秀人数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

查看试题解析
17. 如图，正方形 $A D E F$ 与梯形 $A B C D$ 所在的平面互相垂直， $A D ⊥ C D ， A B / / C D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 2$ ，点 $M$ 在线段 $E C$ 上.

(Ⅰ) 若点 $M$ 为 $E C$ 的中点，求证： $B M / /$ 平面 $A D E F$ ；

(Ⅱ) 求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $B E C$ ；

(Ⅲ) 当平面 $B D M$ 与平面 $A B F$ 所成二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时，求 $A M$ 的长.

查看试题解析
18. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ．已知 $| A B | = \frac{\sqrt{3}}{2} | F_{1} F_{2} |$ ．

(1)、求椭圆的离心率；

(2)、设 $P$ 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $P B$ 为直径的圆经过点 $F_{1}$ ，经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切，求直线 $l$ 的斜率．

查看试题解析
19. 已知单调等比数列 ${a_{n}}$ 中，首项为 $\frac{1}{2}$ ，其前n项和是 $S_{n}$ ，且 $\frac{1}{2} a_{3} + S_{3},_{} S_{5},_{} a_{4} + S_{4}$ 成等差数列,数列 ${b_{n}}$ 满足条件 $\frac{1}{a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}} = {(\sqrt{2})}^{b_{n}} .$
(Ⅰ) 求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(Ⅱ) 设 $c_{n} = a_{n} - \frac{1}{b_{n}}$ ,记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

①求 $T_{n}$ ;②求正整数 $k$ ，使得对任意 $n \in N^{*}$ ，均有 $T_{k} \geq T_{n}$ .

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = a x + b sin x$ ，当 $x = \frac{π}{3}$ 时， $f (x)$ 取得极小值 $\frac{π}{3} - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、记 $h (x) = \frac{1}{8} [5 x - f (x)]$ ，设 $x_{1}$ 是方程 $h (x) - x = 0$ 的实数根，若对于 $h (x)$ 定义域中任意的 $x_{2}$ ， $x_{3}$ .当 $| x_{2} - x_{1} | < 1$ 且 $| x_{3} - x_{1} | < 1$ 时，问是否存在一个最小的正整数 $M$ ，使得 $| h (x_{3}) - h (x_{2}) | \leq M |$ 恒成立，若存在请求出 $M$ 的值；若不存在请说明理由.

(3)、设直线 $l : y = g (x)$ ，曲线 $S : y = F (x)$ .若直线 $l$ 与曲线 $S$ 同时满足下列条件：
①直线 $l$ 与曲线 $S$ 相切且至少有两个切点；

②对任意 $x \in R$ 都有 $g (x) \geq F (x)$ .则称直线 $l$ 与曲线 $S$ 的“上夹线”.

试证明：直线 $l : y = x + 2$ 是曲线 $S : y = a x + b sin x$ 的“上夹线”.

查看试题解析