湖北省鄂州市梁子湖区2018-2019学年九年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-06-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 关于x的一元二次方程x²﹣4x+3=0的解为（）

A、x₁=﹣1，x₂=3 B、x₁=1，x₂=﹣3 C、x₁=1，x₂=3 D、x₁=﹣1，x₂=﹣3

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2.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（　　）

A、sinA= $\frac{12}{13}$ B、cosA= $\frac{12}{13}$ C、tanA= $\frac{5}{12}$ D、tanB= $\frac{12}{5}$

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3. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} (a \neq 0 ， b \neq 0)$ ，下列变形错误的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ B、 $2 a = 3 b$ C、 $\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$ D、 $3 a = 2 b$

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4. 如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD于点F，则 $tan ∠ B D E$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数y $= \frac{b}{x}$ （b≠0）与二次函数y＝ax²+bx（a≠0）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，且AD=3，DB=2，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，将△ADE沿着DE折叠，得△MDE，与边BC分别交于点F，G.若△ABC的面积为15，则△MFG的面积是（）

A、0.5 B、0.6 C、0.8 D、1.2

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8. 如图，在△ABC中，AC＝BC，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，以下四个结论：①BE＝AE；②CE⊥AB；③△DEB是等腰三角形；④ $\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{E D}$ .其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ (a，b，c是常数，a≠0)图象的一部分，与x轴的交点A在点(2 ，0)和(3 ，0)之间，对称轴是x=1.对于下列结论：① ab＜0；② 2a+b=0；③ 3a+c＞0；④a+b≥m(am+b)(m为实数)；⑤ 当－1＜x＜3时，y＞0. 其中正确结论的个数为（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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10. 如图，在平面直角坐标系中，点A₁ ， A₂ ， A₃ ， … 和B₁ ， B₂ ， B₃ ， … 分别在直线 $y = \frac{1}{5} x + b$ 和x轴上.△OA₁B₁ ， △B₁A₂B₂ ， △B₂A₃B₃ ， …都是等腰直角三角形.如果点A₁(1，1)，那么点A₂₀₁₉的纵坐标是（）

A、 ${(\frac{3}{2})}^{2019}$ B、 ${(\frac{3}{2})}^{2018}$ C、 ${(\frac{2}{3})}^{2019}$ D、 ${(\frac{2}{3})}^{2018}$

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二、填空题

11. 计算( $\frac{1}{2}$ )^－¹＋tan30°·sin60°=.

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12. 用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为．

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13. 如图，点A(－2，0)，B(0，1)，以线段AB为边在第二象限作矩形ABCD，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ (k<0)经过点D，连接BD，若四边形OADB的面积为6，则k的值是.

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14. 菱形ABCD中，∠A=40°，点P在以A为圆心，对角线BD长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBD的度数为.

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15. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE=∠BCE，点P是边AB上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的最小值为.

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三、解答题

16. 先化简，再求代数式（1﹣ $\frac{1}{a - 2}$ ）÷ $\frac{a^{2} - 6 a + 9}{2 a - 4}$ 的值，其中a=4cos30°+3tan45°.

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17. 如图，在正方形ABCD中，点G在边AB上(不与点A，B重合)，连接DG，作CE⊥DG于点E，AF⊥DG于点F，连接AE，CF.

(1)、求证：DE=AF；

(2)、若 $A G = \frac{1}{3} A B ，$ 设 $∠ E C F = α ， ∠ E A F = β$ ，求 $\frac{tan α}{tan β}$ 的值.

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18. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)、这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为；

(2)、将条形统计图补充完整.观察此图，支付方式的“众数”是“”；

(3)、在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.

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19. 已知关于x的方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 2 = 0$ .

(1)、若方程总有两个实数根，求m的取值范围；

(2)、若两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 8$ ，求m的值.

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20. 阳春三月，春暖花开，莲花山风景区游人如织，某摄影爱好者正在用无人机进行航拍.如图，在无人机镜头C处，观测风景区A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，已知A，B两点之间的距离为200米，则无人机镜头C处的高度CD为多少？(点A，B，D在同一条直线上，结果保留根号)

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21. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC，AB的延长线于点E，F.

(1)、求证：EF是⊙O的切线；

(2)、设AC=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；

(3)、若BF=2， $sin F = \frac{1}{3}$ ，求AD的长.

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22. “才饮长沙水，又食武昌鱼”.因一代伟人毛泽东的佳句，“鄂州武昌鱼”名扬天下.某网店专门销售某种品牌真空包装的武昌鱼熟食产品，成本为30元/盒，每天销售y(盒)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示.

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、如果规定每天这种武昌鱼熟食产品的销售量不低于240盒，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

(3)、该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3 600元，试确定这种武昌鱼熟食产品销售单价的范围.

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23. 如图，已知抛物线y= $\frac{1}{3}$ x²+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；

(3)、当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

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