2016-2017学年广东省揭阳市惠来一中高一下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-05-25 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知| $\vec{a}$ |=5，| $\vec{b}$ |=1．若 $\vec{a}$ =λ $\vec{b}$ 且 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的方向相反，则λ=（）

A、5 B、﹣5 C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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2. 如图所示，角θ的终边与单位圆交于点 $P (- \frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ，则cos（π﹣θ）的值为（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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3. 三个数a=0.3² ， b=log₂0.3，c=2^0.3之间的大小关系是（　　）

A、a＜c＜b B、a＜b＜c C、b＜a＜c D、b＜c＜a

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4. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5. 在函数y=tanx、y=|sinx|、y=cos（2x+ $\frac{2 π}{3}$ ）中，最小正周期为π的函数的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 函数y=tan（2x﹣ $\frac{π}{4}$ ）的单调增区间是（）

A、（ $\frac{k π}{2} - \frac{π}{8} ， \frac{k π}{2} + \frac{3 π}{8}$ ），k∈Z B、（ $\frac{k π}{2} + \frac{π}{8} ， \frac{k π}{2} + \frac{5 π}{8}$ ），k∈Z C、（ $k π - \frac{π}{8} ， k π + \frac{3 π}{8}$ ），k∈Z D、（ $k π + \frac{π}{8} ， k π + \frac{5 π}{8}$ ），k∈Z

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7. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{2}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ =（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、10

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8. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ $ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2}$ ）的最小正周期是π，若其图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）

A、关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 B、关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称 C、关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称

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9. 已知P、A、B、C是平面内四个不同的点，且 $\vec{P A}$ + $\vec{P B}$ + $\vec{P C}$ = $\vec{A C}$ ，则（）

A、A、 B、C三点共线 B．A、 C、P三点共线 D、A、C、P三点共线

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10. 若奇函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则不等式f（x）＜0的解集为（）

A、（﹣3，0）∪（3，+∞） B、（﹣3，0）∪（0，3） C、（﹣∞，﹣3）∪（0，3） D、（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）

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11. 定义运算：a*b= ${\begin{cases} a ， a \leq b \\ b ， a > b \end{cases}$ ，如1*2=1，则函数f（x）=cosx*sinx的值域为（）

A、[﹣1， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ] B、[﹣1，1] C、[ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，1] D、[﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ]

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12. 若函数y=a^x﹣x﹣a有两个零点，则a的取值范围是（　　）

A、（1，+∞） B、（0，1） C、（0，+∞） D、∅

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二、填空题

13. 向量 $\vec{a}$ =（﹣1，3）， $\vec{b}$ =（3，﹣4），则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影为．

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14. 已知tanθ=2，则 $\frac{3 \sin θ - 2 \cos θ}{\sin θ + 3 \cos θ}$ = ．

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15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x - \cos x$ （x∈R）．则函数函数y=f（x）的值域为．

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16. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=CD=1，P是AB的中点，则 $\vec{D P} \cdot \vec{A B}$ = ．

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三、解答题

17. 已知角α的终边经过点P（﹣4，3）

(1)、求 sinθ、cosθ、tanθ；

(2)、求 $\frac{\cos (θ - \frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2} + θ)}$ sin（θ+π）cos（2π﹣θ）．

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18. 已知两直线l₁：mx+8y+n=0和l₂：2x+my﹣1=0，试确定m，n的值，使

(1)、l₁与l₂相交于点P（m，﹣1）；

(2)、l₁∥l₂；

(3)、l₁⊥l₂ ，且l₁在y轴上的截距为﹣1．

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19. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + ϕ) ， x \in R (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，求：

(1)、f（x）的表达式．

(2)、f（x）的单调增区间．

(3)、f（x）的最小值以及取得最小值时的x集合．

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20. 已知平面向量 $\vec{a}$ =（1，x）， $\vec{b}$ =（2x+3，﹣x）（x∈R）．

(1)、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，求| $\vec{a} - \vec{b}$ |

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角，求x的取值范围．

(3)、若| $\vec{a}$ |=2，求与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量 $\vec{c}$ 的坐标．

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21. 如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．

(1)、求证：直线BD₁∥平面PAC；

(2)、求证：直线PB₁⊥平面PAC．

(3)、求三棱锥B﹣PAC的体积．

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22. 已知向量 $\vec{a}$ =（sin $\frac{π x}{2}$ ，sin $\frac{π}{3}$ ）， $\vec{b}$ =（cos $\frac{π x}{2}$ ，cos $\frac{π}{3}$ ），且向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 共线．

(1)、求证：sin（ $\frac{π x}{2}$ ﹣ $\frac{π}{3}$ ）=0；

(2)、若记函数f（x）=sin（ $\frac{π x}{2}$ ﹣ $\frac{π}{3}$ ），求函数f（x）的对称轴方程；

(3)、求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）的值；

(4)、如果已知角0＜A＜B＜π，且A+B+C=π，满足f（ $\frac{4 A}{π}$ ）=f（ $\frac{4 B}{π}$ ）= $\frac{1}{2}$ ，求 $\frac{\sin B}{\sin C}$ 的值．

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