新疆维吾尔自治区2019年普通高考文数第一次适应性检测试卷

试卷更新日期：2019-06-04 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0, 1, 2}$ ，集合 $B = {y | y = e^{x}}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 设复数： $z = - 1 + 2 i$ （ $i$ 是虚数单位）， $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\frac{1 + \bar{z}}{z} =$ （）

A、 $\frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$

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3. 若 $sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{3}, α \in (0, π)$ ，则 $cos α$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{- 2 \sqrt{3} + \sqrt{6}}{6}$

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4. 已知点 $P (- 1, \sqrt{3})$ ， $O$ 为坐标原点，点 $Q$ 是圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，且 $\overset{⇀}{O Q} \cdot \overset{⇀}{P Q} = 0$ ，则 $| \overset{⇀}{O P} + \overset{⇀}{O Q} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $7$

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5. 函数 $f (x) = l n | 1 + x | - l n | 1 - x |$ 的大致图像为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若点 $M (x ， y)$ 满足 ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0 \\ 1 \leq x \leq 2 \\ 0 \leq y \leq 2 \end{matrix}$ ，则 $x + y$ 的取值集合是（）

A、 $[1 ， 2 + \sqrt{2}]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 $[2 + \sqrt{2} ， 4]$ D、 $[1 ， 4]$

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7. 将边长为 $3$ 的正方形 $A B C D$ 的每条边三等份，使之成为 $3 \times 3$ 表格.将其中 $6$ 个格染成黑色，使得每行每列都有两个黑格的染色方法种数有（）

A、 $12$ B、 $6$ C、 $36$ D、 $18$

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8. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 $\frac{9}{5}$ ，则 $a =$ （）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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9. 已知命题 $p$ ： $\frac{2 x}{x - 1} < 1$ ，命题 $q$ ： $(x + a) (x - 3) > 0$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值集合是（）

A、 $(- 3, - 1]$ B、 $[- 3, - 1]$ C、 $(- \infty, - 1]$ D、 $(- \infty, - 3]$

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10. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{4} x$ B、 $y = \pm 2 \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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11. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直， $A A_{1} = 2$ ， $B C = 2$ ， $∠ B A C = \frac{π}{4}$ ，则三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的体积为（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $6 \sqrt{3} π$ C、 $8 \sqrt{3} π$ D、 $12 \sqrt{3} π$

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12. 定义在 $[a ， 3]$ 上的函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{e^{x}} - 2 x$ （ $a > 0$ ）满足， $f (a + 1) ⩽ f (2 a^{2})$ ，则实数 $a$ 的取值集合是（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{2}]$ B、 $(1 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ C、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{6}}{2}]$ D、 $[1 ， \frac{\sqrt{6}}{2}]$

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二、填空题

13. 设 $a = Z$ ，函数 $f (x) = e^{x} + x - a$ ，若 $x \in (- 1, 1)$ 时，函数有零点，则 $a$ 的取值个数有.

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14. 数列 ${a_{n}}$ 是首项为 $1$ ，公差为 $2$ 的等差数列，激列 ${b_{n}}$ 满足关系 $\frac{a_{1}}{b_{1}} + \frac{a_{2}}{b_{2}} + \frac{a_{3}}{b_{3}} + \dots + \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{1}{2^{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{4}$ 的值为.

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15. 设点 $O$ 在 $Δ A B C$ 的内部且满足： $4 \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C} = 0$ ，现将一粒豆子随机撒在 $Δ A B C$ 中，则豆子落在 $Δ O B C$ 中的概率是.

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16. 已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $\frac{3}{a - 1} + \frac{2}{b - 1}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $tan C = \frac{a b}{a^{2} + b^{2} - c^{2}}$

(1)、求角 $C$ 大小；

(2)、当 $c = 1$ 时，求 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围。

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18. 如图， $Δ A B C$ 和 $Δ B C D$ 所在平面互相垂直，且 $A B = B C = B D = 2$ ， $∠ A B C = ∠ D B C = 120 °$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $A C$ 、 $D C$ 的中点.

(1)、求证： $A D ⊥ B C$ ；

(2)、四棱锥 $B - A D F E$ 的体积.

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19. 港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件。从某企业生产的桥梁构件中抽取 $100$ 件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间 $[55 ， 65 ）$ ， $[65 ， 75 ）$ ， $[75 ， 85]$ 内的频率之比为 $4 ： 2 ： 1$ .

(1)、求这些桥梁构件质量指标值落在区间 $[75 ， 85]$ 内的频率；

(2)、用分层抽样的方法在区间 $[45 ， 75)$ 内抽取一个容量为 $6$ 的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取 $2$ 件桥梁构件，求这 $2$ 件桥梁构件都在区间 $[45 ， 65)$ 内的概率

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20. 已知椭圆 $C$ 的中心在原点， $F (1, 0)$ 是它的一个焦点，直线 $l_{1}$ ，过点 $F$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，当直线 $l_{1} ⊥ x$ 轴时， $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设椭圆的左顶点为 $P$ ， $P A$ 、 $P B$ 的延长线分别交直线 $l_{2} : x = 2$ 于 $M$ ， $N$ 两点，证明：以 $M N$ 为直径的圆过定点。

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21. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x - 2 a - 3) e^{x}$ ，

(1)、若 $x = 2$ 是函数 $f (x)$ 的一个极值点，求实数 $a$ 的值；

(2)、设 $a < 0$ ，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) ⩽ e^{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知曲线 $C_{1} : {\begin{matrix} x = 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），曲线 $C_{2} : {\begin{matrix} x \neq 1 + t c o s α \\ y = - 1 + t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）

(1)、若 $α = \frac{π}{4}$ 求曲线 $C_{2}$ 的普通方程，并说明它表示什么曲线；

(2)、曲线 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 的交点记为 $M$ 、 $N$ ，求 $| M N |$ 的最小值

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23. 设函数 $f (x) = | x - 2 | + | 3 x - 4 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) > 5 x$ ；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，若实数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + 3 b = 3 m$ ，求证： $a^{2} + b^{2} \geq \frac{4}{13}$ .

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