四川省泸州市2019届高三文数第二次教学质量诊断性考试试卷

试卷更新日期：2019-06-04 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | | x | \leq 2}$ ，则 $A \cap^{} B = ($ $)$

A、 ${1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${1 ，$ 2， $3}$

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2. $i$ 为虚数单位，若复数 $(1 + mi) (1 + i)$ 是纯虚数，则实数 $m = ($ $)$

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、0或1

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3. 某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1，2，3，4，5，6的队员进行实弹射击比赛，每人射击1次，击中的环数如表：

学生	1号	2号	3号	4号	5号	6号
甲队	6	7	7	8	7	7
乙队	6	7	6	7	9	7

则以上两组数据的方差中较小的一个为 $s^{2} = ($ $)$

A、

\frac{1}{6}

B、

\frac{1}{3}

C、

\frac{1}{2}

D、1

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4. 某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作 $a_{i} (i = 1 ，$ 2，3， $\dots$ ， $50)$ ，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是 $($ $)$

A、求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数 B、求该班学生数学科学业水平考试的不合格率 C、求该班学生数学科学业水平考试的合格人数 D、求该班学生数学科学业水平考试的合格率

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5. 已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3，底边长为2，俯视图是一个半径为1的圆 $($ 如图 $所示)$ ，则这个几何体的内切球的体积为 $($ $)$

A、 $\frac{\sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $2 π$

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6. 若函数 $f (x) = 2 sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后关于 $y$ 轴对称，则函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $($ $)$

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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7. 若函数 $f (x) = \sqrt{a - a^{x}} (a > 0 ， a \neq 1)$ 的定义域和值域都是 $[0 ， 1]$ ，则 ${log}_{a} \frac{7}{11} + {log}_{a} \frac{11}{14} = ($ $)$

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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8. 在 $△ ABC$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $acosB + bcosA = 4 sinC$ ，则 $△ ABC$ 的外接圆面积为 $($ $)$

A、 $16 π$ B、 $8 π$ C、 $4 π$ D、 $2 π$

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9. 若正实数 $x ， y$ 满足 $x + y = 1$ ，则 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y}$ 的最小值为 $($ $)$

A、 $\frac{44}{7}$ B、 $\frac{27}{5}$ C、 $\frac{14}{3}$ D、 $\frac{9}{2}$

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10. 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M，N分别是线段DB₁和A₁C上不重合的两个动点，则下列结论正确的是 $($ $)$

A、 ${BC}_{1} ⊥ MN$ B、 $B_{1} N / / CM$ C、平面 $ABN / /$ 平面 $C_{1} {MD}_{1}$ D、平面 $CDM ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$

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11. 已知 $A (3 ， 2)$ ，若点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上任意一点，点 $Q$ 是圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点，则 $| PA | + | PQ |$ 的最小值为 $($ $)$

A、3 B、4 C、5 D、6

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12. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的函数， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，若 $f (x) < tan x f^{'} (x)$ ， $f (\frac{π}{6}) = 1$ ， $(e$ 为自然对数的底数 $)$ ，则不等式 $f (x) < 2 sinx$ 的解集是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{6})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{π}{2})$

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二、填空题

13. 若 $sinθ = \frac{4}{5}$ ，则 $cos 2 θ =$ ．

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14. 已知 $λ \in R$ ，向量 $\vec{a} = (λ - 1, 1)$ ， $\vec{b} = (λ, - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ ．

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15. 若关于 $x$ 的方程 $3^{| x - 2 |} + kcos (2 - x) = 0$ 只有一个实数解，则实数 $k$ 的值为．

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 右支上有一点 $A$ ，它关于原点的对称点为 $B$ ，双曲线的右焦点为 $F$ ，满足 $\vec{AF} \cdot \vec{BF} = 0$ ，且 $∠ ABF = \frac{π}{6}$ ，则双曲线的离心率 $e$ 的值是．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，且 $a_{1} a_{5} = 9$ ， $a_{2} + a_{4} = 10$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} (n \in N*)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 今年年初，习近平在 $《$ 告台湾同胞书 $》$ 发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥 $.$ 要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量 $($ 单位：吨 $)$ ，以 $[160 ， 180)$ ， $[180 ， 200)$ ， $[200 ， 220)$ ， $[220 ， 240)$ ， $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280)$ ， $[280 ， 300)$ 分组的频率分布直方图如图所示．

(1)、求直方图中 $x$ 的值和年平均销售量的众数和中位数；

(2)、在年平均销售量为 $[220 ， 240)$ ， $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280)$ ， $[280 ， 300)$ 的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在 $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280) ， [280$ ， $300)$ 的农贸市场中应各抽取多少家？

(3)、在 $(2)$ 的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1家在 $[240 ， 260)$ 组的概率．

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19. 如图所示，在三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 ${BB}_{1} C_{1} C$ 是长方形， $A_{1} B_{1} ⊥ BC$ ， ${AA}_{1} = AB$ ， ${AB}_{1} \cap^{} A_{1} B = E$ ， ${AC}_{1} \cap^{} A_{1} C = F$ ，连接 $E F$ ．

(1)、证明：平面 $A_{1} BC ⊥$ 平面 ${AB}_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $BC = 3$ ， $A_{1} B = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ A_{1} AB = \frac{2 π}{3}$ ， $D$ 是线段 $A_{1} C$ 上的一点，且 $A_{1} C = 4 CD$ ，试求 $\frac{V_{A_{1} - AEF}}{V_{A - BCD}}$ 的值．

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20. 已知，椭圆 $C$ 过点 $A (\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ ，两个焦点为 $(0, 2)$ ， $(0, - 2)$ ， $E, F$ 是椭圆 $C$ 上的两个动点，直线 $A E$ 的斜率与 $A F$ 的斜率互为相反数．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求证：直线 $E F$ 的斜率为定值．

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21. 已知 $f (x) = \frac{a {(lnx)}^{2} + lnx}{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(1, 0)$ 处的切线方程；

(2)、求证：当 $a \geq 1$ 时， $f (x) + 1 \geq 0$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} \overset{x = 2 t^{2}}{y = 2 t} \end{matrix} ($ 其中 $t$ 为参数 $)$ 以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρsin (θ - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、把曲线 $C_{1}$ 的方程化为普通方程， $C_{2}$ 的方程化为直角坐标方程；

(2)、若曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 相交于 $A, B$ 两点， $A B$ 的中点为 $P$ ，过点 $P$ 作曲线 $C_{2}$ 的垂线交曲线 $C_{1}$ 于 $E, F$ 两点，求 $\frac{| EF |}{| PE | \cdot | PF |}$ ．

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23. 已知函数 $h (x) = | x - m |$ ， $g (x) = | x + n |$ ，其中 $m > 0$ ， $n > 0$ ．

(1)、若函数 $h (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且 $f (x) = h (x) + | 2 x - 3 |$ ，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(2)、若函数 $φ (x) = h (x) + g (x)$ 的最小值为2，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值及其相应的 $m$ 和 $n$ 的值．

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