江西省重点中学盟校2019届高三理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2019-06-04 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | \frac{x - 1}{4 - x} > 0 ， x \in Z}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 5}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 + 3 i}{3 - i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足：当 $x < 0$ 时， $f (x) = {log}_{2} (1 - x)$ ，则 $f (f (7)) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $1$ D、 $2$

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4. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} + a_{3} = 6$ ， $S_{10} = 100$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $8$ B、 $9$ C、 $10$ D、 $11$

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5. 已知条件 $p ： a = - 1$ ，条件 $q ：$ 直线 $x - a y + 1 = 0$ 与直线 $x + a^{2} y - 1 = 0$ 平行，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果 $S = 1320$ ，则判断框中应填入（）

A、 $k \leq 12$ B、 $k \leq 11$ C、 $k \leq 10$ D、 $k \leq 9$

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7. 已知 $| \overset{⇀}{a} | = 1 ， | \overset{⇀}{b} | = 2$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 在 $\overset{⇀}{b}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 把函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 $2$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的一个单调递减区间为（）

A、 $[π ， 2 π]$ B、 $[\frac{π}{3} ， \frac{4 π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{4}]$

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9. 已知下图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的棱的长度中，最大的是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 以双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点 $M$ 为圆心作圆，该圆与 $x$ 轴相切于 $C$ 的一个焦点 $F$ ，与 $y$ 轴交于 $P ， Q$ 两点，若 $| P Q | = \frac{2 \sqrt{3}}{3} c$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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11. 今有 $6$ 个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有（）种

A、 $204$ B、 $288$ C、 $348$ D、 $396$

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12. 若曲线 $f (x) = a e^{x} - a x (0 < x < 2)$ 和 $g (x) = - x^{3} + x^{2} (x < 0)$ 上分别存在点 $A ， B$ ，使得 $Δ A O B$ 是以原点 $O$ 为直角顶点的直角三角形， $A B$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，且 $\overset{⇀}{A C} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{C B}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{10 (e^{2} - 2)} ， \frac{1}{6 (e - 1)})$ B、 $(\frac{1}{6 (e - 1)} ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{e - 1} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{10 (e^{2} - 2)} ， \frac{1}{2})$

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二、填空题

13. 若 $a = \int_{0}^{π} sin x d x$ ，则 ${(\frac{a}{x} - \sqrt{x})}^{9}$ 的展开式中常数项为．

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是内角 $A ， B ， C$ 的对边，若 $a = 2$ ， $b = 2 c$ ， $cos A = \frac{1}{4}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积等于．

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15. 已知关于实数 $x ， y$ 的不等式组 ${\begin{matrix} x + 2 y - 19 \geq 0 \\ x - y + 8 \geq 0 \\ 2 x + y - 14 \leq 0 \end{matrix}$ 构成的平面区域为 $Ω$ ，若 $\forall (x ， y) \in Ω$ ，使得 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} \leq m$ 恒成立，则实数 $m$ 的最小值是．

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16. 已知四棱锥 $S - A B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上， $S D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B / / C D$ 且满足 $A B = 2 A D = 2 D C = 2$ ， $S C = \sqrt{2}$ ，则球 $O$ 的表面积是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 为正项等比数列，满足 $a_{3} = 4$ ，且 $a_{5} ， 3 a_{4} ， a_{6}$ 构成等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {log}_{2} a_{n} + {log}_{2} a_{n + 1}$ .
(Ⅰ)求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(Ⅱ)若数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{4 S_{n} - 1}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $A D = P D = 1$ ，平面 $P C D$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ P D C = 120^{\circ}$ ，点 $E$ 为线段 $P C$ 的中点，点 $F$ 是线段 $A B$ 上的一个动点．

（Ⅰ）求证：平面 $D E F$ $⊥$ 平面 $P B C$ ；

（Ⅱ）设二面角 $C - D E - F$ 的平面角为 $θ$ ，试判断在线段 $A B$ 上是否存在这样的点 $F$ ，使得 $tan θ = 2 \sqrt{3}$ ，若存在，求出 $\frac{| A F |}{| F B |}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19. 为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取

20

名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于

120

分者为“成绩优秀”）

分数	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100)$	$[100 ， 110)$	$[110 ， 120)$	$[120 ， 130)$	$[130 ， 140)$	$[140 ， 150]$
甲班频数	$1$	$1$	$4$	$5$	$4$	$3$	$2$
乙班频数	$0$	$1$	$1$	$2$	$6$	$6$	$4$

（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有 $95 %$ 以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？

	甲班	乙班	总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计

（Ⅱ）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取 $3$ 人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望．

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

临界值表

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.100$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k_{0}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的点， $Δ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值是 $2$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，点 $D$ 是椭圆 $C$ 上的点， $O$ 是坐标原点，若 $\overset{⇀}{O M} + \overset{⇀}{O N} = \overset{⇀}{O D} ，$ 判定四边形 $O M D N$ 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x} (1 - a ln x)$ ， $a \in R$ ．
（Ⅰ）若 $f (x)$ 在 $(0 ， 1]$ 上存在极大值点，求实数 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）求证： $\sum_{i = 1}^{n} ln i > 2 {(\sqrt{n} - 1)}^{2}$ ，其中 $n \in N_{+} ， n \geq 2$ ．

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22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，以 $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = 2 ρ cos θ - 4 ρ sin θ + 4$ ，直线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ (cos θ - sin θ) = 3$ ．
（Ⅰ）写出曲线 $C$ 和直线 $l_{1}$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线 $l_{2}$ 过点 $P (- 1 ， 0)$ 与曲线 $C$ 交于不同两点 $A ， B$ ， $A B$ 的中点为 $M$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $N$ ，求 $| P M | \cdot | P N |$ ．

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23. 若关于 $x$ 的不等式 $| 2 x + 2 | - | 2 x - 1 | - t \geq 0$ 在实数范围内有解．
（Ⅰ）求实数 $t$ 的取值范围；

（Ⅱ）若实数 $t$ 的最大值为 $a$ ，且正实数 $m ， n ， p$ 满足 $m + 2 n + 3 p = a$ ，求证： $\frac{1}{m + p} + \frac{2}{n + p} \geq 3$ .

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