吉林省长春市普通高中2019届高三理数质量监测（二)

试卷更新日期：2019-05-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = i + i^{2}$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 集合 $A = {x | \sqrt{2 - x} \geq 0}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${1, 2, 3}$

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3. 命题“ $\forall x \in R$ ， $e^{x} \geq x + 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $e^{x} < x + 1$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} \geq x_{0} + 1$ C、 $\forall x \notin R$ ， $e^{x} < x + 1$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} < x_{0} + 1$

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4. 下列函数中，在 $(0, + \infty)$ 内单调递减的是（）

A、 $y = 2^{2 - x}$ B、 $y = \frac{x - 1}{1 + x}$ C、 $y = {log}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x}$ D、 $y = - x^{2} + 2 x + a$

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5. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

A、32 B、 $\frac{64}{3}$ C、 $\frac{32}{3}$ D、8

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6. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和， $a_{2} + a_{3} = 10$ ， $S_{6} = 54$ ，则该数列的公差 $d$ 为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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7. 下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 直线 $y = 2 x$ 绕原点顺时针旋转 $45 °$ 得到直线 $l$ ，若 $l$ 的倾斜角为 $α$ ，则 $cos 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{8 + \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{8 - \sqrt{10}}{10}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9. 正方形 $A B C D$ 边长为2，点 $E$ 为 $B C$ 边的中点， $F$ 为 $C D$ 边上一点，若 $\overset{⇀}{A F} \cdot \overset{⇀}{A E} = {| \overset{⇀}{A E} |}^{2}$ ，则 $| \overset{⇀}{A F} | =$ （）

A、3 B、5 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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10. 已知曲线 $y = sin x$ 在点 $P (x_{0} ， sin x_{0}) (0 \leq x_{0} \leq π)$ 处的切线为 $l$ ，则下列各点中不可能在直线 $l$ 上的是（）

A、 $(- 1 ， - 1)$ B、 $(- 2 ， 0)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(4 ， 1)$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和 $y$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $\frac{S_{Δ A O F_{2}}}{S_{Δ A O B}} = 2$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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12. 定义在 $[0, π]$ 上的函数 $y = sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 有零点，且值域 $M \subseteq [- \frac{1}{2}, + \infty)$ ，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, \frac{4}{3}]$ B、 $[\frac{4}{3}, 2]$ C、 $[\frac{1}{6}, \frac{4}{3}]$ D、 $[\frac{1}{6}, 2]$

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为．

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14. 直线 $y = 2 x$ 与抛物线 $x^{2} = 4 y$ 围成的封闭图形的面积为．

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15. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ 、 $c$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $a cos B + b sin A = c$ ，则 $Δ A B C$ 的面积的最大值为．

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16. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $M$ ， $N$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A_{1} B_{1}$ ， $A D$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，则过 $E F$ 且与 $M N$ 平行的平面截正方体所得截面的面积为， $C E$ 和该截面所成角的正弦值为．

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三、解答题

17. 各项均为整数的等差数列 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 1$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $S_{4} + 1$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${{(- 1)}^{n} \cdot a_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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18. 某研究机构随机调查了

A

，

B

两个企业各100名员工，得到了

A

企业员工收入的频数分布表以及

B

企业员工收入的统计图如下：

$A$ 企业：

工资	人数
$[2000 ， 3000)$	5
$[3000 ， 4000)$	10
$[4000 ， 5000)$	20
$[5000 ， 6000)$	42
$[6000 ， 7000)$	18
$[7000 ， 8000)$	3
$[8000 ， 9000)$	1
$[9000 ， 10000]$	1

$B$ 企业：

(1)、若将频率视为概率，现从

B

企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；

(2)、（i）若从

A

企业收入在

[2000 ， 5000)

员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在

[3000 ， 4000)

的人数

X

的分布列.

（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.

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19. 四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $C D = 2 A B = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A D = \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $P C$ 中点.

（Ⅰ）求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $B M D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $M - B D - P$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上一点，且满足 $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $| P F_{2} | = \frac{3}{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若 $M$ 为 $y$ 轴正半轴上的定点，过 $M$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，设 $O$ 为坐标原点， $S_{Δ A O B} = - \frac{3}{2} tan ∠ A O B$ ，求点 $M$ 的坐标.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + b x - 1 (b \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若方程 $f (x) = ln x$ 有两个实数根，求实数 $b$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程 ${\begin{matrix} x = a + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{3}{1 + 2 {cos}^{2} θ}$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程以及曲线 $C$ 的参数方程；

(2)、当 $a = 1$ 时， $P$ 为曲线 $C$ 上动点，求点 $P$ 到直线 $l$ 距离的最大值.

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23. 设函数 $f (x) = | x + 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) + f (- x) \geq 6$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x - 4) - f (x + 1) > k x + m$ 的解集为 $(- \infty, + \infty)$ ，求 $k + m$ 的取值范围.

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