湖北省十堰市2019届高三文数模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-05-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 2 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ， $B = {x | x - 1 < 0}$ ，则 $A \cup^{} B$ =（）

A、 ${x | x < 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 1}$ C、 ${x | x \leq 2}$ D、 ${x | - 2 \leq x < 1}$

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3. 设向量 $\vec{a} = (- 3, 4)$ ， $\vec{b} = (0, - 2)$ ，则与 $\vec{a} + \vec{b}$ 垂直的向量的坐标可以是（）

A、 $(3, 2)$ B、 $(3, - 2)$ C、 $(4, 6)$ D、 $(4, - 6)$

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4. 直线 $2 x - y - \sqrt{3} = 0$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$ ，点 $P$ 把圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 36$ 的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 若 $a = {log}_{2} 3$ ， $b = {log}_{4} 8$ ， $c = {log}_{5} 8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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6. 我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）

A、 $8 - \frac{4 π}{3}$ B、 $8 - π$ C、 $8 - \frac{2 π}{3}$ D、 $4 - \frac{π}{2}$

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7. 将函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 图像，则下列判断错误的是（）

A、函数 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 B、 $g (x)$ 图像关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、函数 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递减 D、 $g (x)$ 图像关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称

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8. 如图是为了求出满足 $3^{n} - 2^{n} > 1000$ 的最小偶数 $n$ ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）

A、 $A > 1000$ 和 $n = n + 1$ B、 $A > 1000$ 和 $n = n + 2$ C、 $A \leq 1000$ 和 $n = n + 1$ D、 $A \leq 1000$ 和 $n = n + 2$

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9. 已知锐角 $α$ 满足 $cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\pm \frac{12}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\pm \frac{24}{25}$

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10. 如图，圆M、圆N、圆P彼此相外切，且内切于正三角形ABC中，在正三角形ABC内随机取一点，则此点取自三角形MNP（阴影部分）的概率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$ C、 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 - \sqrt{3}}{3}$

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11. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0 ， b > 0$ )的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线分别交双曲线左右两支于点 $M ， N$ ，连结 $M F_{2} ， N F_{2}$ ，若 $\vec{M F_{2}} \cdot \vec{N F_{2}} = 0$ ， $| \vec{M F_{2}} | = | \vec{N F_{2}} |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）.

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - \frac{x}{x + 1} - 3 a, x \leq - 2 \\ e^{x} - \frac{a}{x}, - 2 < x < 0 \end{matrix}$ 恰有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{2}{3}, - \frac{1}{3})$ B、 $[- \frac{2}{3}, - \frac{1}{e^{2}})$ C、 $(- \frac{1}{e}, - \frac{1}{e^{2}})$ D、 $(- \frac{1}{e}, - \frac{1}{3})$

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二、填空题

13. 在△ABC中，a=3， $b = 2 \sqrt{6}$ ，B=2A，则cosA= ．

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14. 已知平面α，β，直线 $m, n$ .给出下列命题：
① 若 $m ∥ α$ ， $n ∥ β, m ∥ n$ ，则 $α ∥ β$ ；② 若 $α ∥ β$ ， $m ∥ α, n ∥ β$ ，则 $m ∥ n$ ；③ 若 $m ⊥ α, n ⊥ β, m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ ；④ 若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α, n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ .

其中是真命题的是．（填写所有真命题的序号）．

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15. 甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是．

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16. 对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(a ， b ， c ， d \in R ， a \neq 0)$ 有如下定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， ${f^{'}}^{'} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导函数，若方程 ${f^{'}}^{'} (x) = 0$ 有实数解 $m$ ，则称点 $(m ， f (m))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”。若点 $(1 ， - 3)$ 是函数 $g (x) = x^{3} - a x^{2} + b x - 5$ $(a ， b \in R)$ 的“拐点”，也是函数 $g (x)$ 图像上的点，则当 $x = 4$ 时，函数 $h (x) = {log}_{4} (a x + b)$ 的函数值是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， $a_{3} = 7$ ，且 $a_{4}$ 是 $a_{1}$ 与 $27$ 的等比中项。

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n + 1}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 。

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18. 某市10000名职业中学高三学生参加了一项综合技能测试，从中随机抽取100名学生的测试成绩，制作了以下的测试成绩 $X$ （满分是184分）的频率分布直方图.

市教育局规定每个学生需要缴考试费100元.某企业根据这100000名职业中学高三学生综合技能测试成绩来招聘员工，划定的招聘录取分数线为172分，且补助已经被录取的学生每个人 $400 + 100 (X - 172)$ 元的交通和餐补费.

(1)、已知甲、乙两名学生的测试成绩分别为168分和170分，求技能测试成绩 $X$ 的中位数，并对甲、乙的成绩作出客观的评价；

(2)、令 $Y$ 表示每个学生的交费或获得交通和餐补费的代数和，把 $Y$ 用 $X$ 的函数来表示，并根据频率分布直方图估计 $Y \geq 800$ 的概率.

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19. 如图，在底面是正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $M$ 是 $P B$ 的中点， $A B = 2$ ， $P A = \sqrt{2}$ ，点 $P$ 在底面 $A B C D$ 的射影 $O$ 恰是 $A D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求三棱锥 $M - P D C$ 的体积.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 过点 $P (2 ， 1)$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程，并求其离心率；

(2)、过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，设点 $A$ 为第四象限内一点且在椭圆 $C$ 上（点 $A$ 不在直线 $l$ 上），点 $A$ 关于 $l$ 的对称点为 $A'$ ，直线 $A' P$ 与 $C$ 交于另一点 $B$ ．设 $O$ 为原点，判断直线 $A B$ 与直线 $O P$ 的位置关系，并说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = a x e^{x} - x^{2} - 2 x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x > 0$ 时，若曲线 $y = f (x)$ 在直线 $y = - x$ 的上方，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知直线 $l$ ： ${\begin{matrix} x = t \\ y = - \sqrt{3} + \sqrt{3} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C_{1} : {\begin{matrix} x = c o s θ \\ y = s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）．

(1)、设 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ ；

(2)、若把曲线 $C_{1}$ 上各点的横坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标压缩为原来的 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍，得到曲线 $C_{2}$ ，设点 $P$ 是曲线 $C_{2}$ 上的一个动点，求它到直线 $l$ 距离的最小值．

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23. 函数 $f (x) = | a x + 2 |$ ，其中 $a \in R$ ，若 $f (x) \leq a$ 的解集为 $[- 2, 0]$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求证：对任意 $x \in R$ ，存在 $m > 1$ ，使得不等式 $f (x - 2) + f (2 x) \geq m + \frac{1}{m - 1}$ 成立．

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