湖北省十堰市2019届高三理数模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-05-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 2 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ， $B = {x | x - 1 < 0}$ ，则 $A \cup^{} B$ =（）

A、 ${x | x < 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 1}$ C、 ${x | x \leq 2}$ D、 ${x | - 2 \leq x < 1}$

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3. 设向量 $\vec{a} = (- 3, 4)$ ， $\vec{b} = (0, - 2)$ ，则与 $\vec{a} + \vec{b}$ 垂直的向量的坐标可以是（）

A、 $(3, 2)$ B、 $(3, - 2)$ C、 $(4, 6)$ D、 $(4, - 6)$

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4. 直线 $2 x - y - \sqrt{3} = 0$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$ ，点 $P$ 把圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 36$ 的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有

A、72种 B、36种 C、24种 D、18种

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6. 我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）

A、 $8 - \frac{4 π}{3}$ B、 $8 - π$ C、 $8 - \frac{2 π}{3}$ D、 $4 - \frac{π}{2}$

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7. 将函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 图像，则下列判断错误的是（）

A、函数 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 B、 $g (x)$ 图像关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、函数 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递减 D、 $g (x)$ 图像关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称

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8. 如图是为了求出满足 $3^{n} - 2^{n} > 1000$ 的最小偶数 $n$ ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）

A、 $A > 1000$ 和 $n = n + 1$ B、 $A > 1000$ 和 $n = n + 2$ C、 $A \leq 1000$ 和 $n = n + 1$ D、 $A \leq 1000$ 和 $n = n + 2$

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9. 已知锐角 $α$ 满足 $cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\pm \frac{12}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\pm \frac{24}{25}$

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10. 如图，圆M、圆N、圆P彼此相外切，且内切于正三角形ABC中，在正三角形ABC内随机取一点，则此点取自三角形MNP（阴影部分）的概率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$ C、 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 - \sqrt{3}}{3}$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO， $P F_{2}$ 分别交双曲线C的左，右支于另一点 $M ， N ，若 | P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，且 $∠ M F_{2} N = 60^{\circ}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、3 C、2 D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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12. 设函数 $g (x) = e^{x} + (1 - \sqrt{e}) x - a$ （ $a \in R$ ，e为自然对数的底数）.定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = x^{2}$ ，且当 $x \leq 0$ 时， $f' (x) < x$ .若存在 $x_{0} \in {x | f (x) + \frac{1}{2} \geq f (1 - x) + x}$ ，且 $x_{0}$ 为函数 $y = g (x) - x$ 的一个零点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{e}}{2} ， + \infty)$ B、 $(\sqrt{e} ， + \infty)$ C、 $[\sqrt{e} ， + \infty)$ D、 $[\frac{\sqrt{e}}{2} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 在△ABC中，a=3， $b = 2 \sqrt{6}$ ，B=2A，则cosA= ．

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14. 已知平面α，β，直线 $m, n$ .给出下列命题：
① 若 $m ∥ α$ ， $n ∥ β, m ∥ n$ ，则 $α ∥ β$ ；② 若 $α ∥ β$ ， $m ∥ α, n ∥ β$ ，则 $m ∥ n$ ；③ 若 $m ⊥ α, n ⊥ β, m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ ；④ 若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α, n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ .

其中是真命题的是．（填写所有真命题的序号）．

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15. 甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是．

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16. 如图放置的边长为1的正方形 $P A B C$ 沿 $x$ 轴滚动，点 $B$ 恰好经过原点.设顶点 $P (x ， y)$ 的轨迹方程是 $y = f (x)$ ，则对函数 $y = f (x)$ 有下列判断：①函数 $y = f (x)$ 是偶函数；②对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x + 2) = f (x - 2)$ ；③函数 $y = f (x)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上单调递减；④函数 $y = f (x)$ 的值域是 $[0 ， 1]$ ；⑤ $\int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{π + 1}{2}$ .其中判断正确的序号是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， $a_{3} = 7$ ，且 $a_{4}$ 是 $a_{1}$ 与 $27$ 的等比中项。

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n + 1}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 。

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18. 某市有 $A, B, C, D$ 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 $A$ 的概率为 $\frac{2}{3}$ ，游览 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且该游客是否游览这四个景点相互独立.

(1)、求该游客至多游览一个景点的概率；

(2)、用随机变量 $X$ 表示该游客游览的景点的个数，求 $X$ 的概率分布和数学期望 $E (X)$ .

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19. 如图（1），等腰梯形 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $C D = 6$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $C D$ 的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线 $A F$ 、 $B E$ 折起，使得点 $C$ 和点 $D$ 重合，记为点 $P$ ，如图（2）.

（Ⅰ）求证：平面 $P E F ⊥$ 平面 $A B E F$ ；

（Ⅱ）求平面 $P A E$ 与平面 $P A B$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 2$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，圆 $O$ 在点 $A$ 处的切线被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ．
(Ⅰ)求椭圆 $C$ 的方程；

(Ⅱ)设圆 $O$ 上任意一点 $P$ 处的切线交椭圆 $C$ 于点 $M ， N$ ，试判断 $| P M | \cdot | P N |$ 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

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21. 已知 $f (x) = a sin x (a \in R)$ ， $g (x) = e^{x}$ .

(1)、若 $0 < a \leq 1$ ，证明函数 $G (x) = f (- x) + ln x$ 在 $(0 ， 1)$ 单调递增；

(2)、设 $F (x) = \frac{f (x) \cdot g (x)}{a}$ $a \neq 0$ ，对任意 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ， $F (x) \geq k x$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 已知直线 $l$ ： ${\begin{matrix} x = t \\ y = - \sqrt{3} + \sqrt{3} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C_{1} : {\begin{matrix} x = c o s θ \\ y = s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）．

(1)、设 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ ；

(2)、若把曲线 $C_{1}$ 上各点的横坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标压缩为原来的 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍，得到曲线 $C_{2}$ ，设点 $P$ 是曲线 $C_{2}$ 上的一个动点，求它到直线 $l$ 距离的最小值．

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23. 函数 $f (x) = | a x + 2 |$ ，其中 $a \in R$ ，若 $f (x) \leq a$ 的解集为 $[- 2, 0]$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求证：对任意 $x \in R$ ，存在 $m > 1$ ，使得不等式 $f (x - 2) + f (2 x) \geq m + \frac{1}{m - 1}$ 成立．

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