河南名校联盟2019届高三下学期理数2月联考试卷

试卷更新日期：2019-05-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $\frac{(1 - i) i^{2}}{1 + 2 i}$ （ $i$ 为虚数单位）等于（）

A、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x + 2 < 0}, B = {x | 3^{x} > 9}$ ，则 $(C_{R} A) \cap^{} B$ 等于（）

A、 ${x | x > 2}$ B、 ${x | x \geq 2}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$

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3. 在区间 $(1, 3)$ 内，任取 $1$ 个数 $x$ ，则满足 ${log}_{2} (2 x - 1) > 1$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 已知 $tan (θ + \frac{π}{4}) = 3$ ，则 $cos (2 θ - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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5. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，若 $Δ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，且 $∠ F_{1} A F_{2} = 4 ∠ A F_{1} F_{2}$ ，则椭圆方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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6. 运行如图所示的程序框图，则输出 $a$ 的值为（）

A、 $13$ B、 $14$ C、 $15$ D、 $16$

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7. 榫卯（sǔnmǎo）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（）

A、 $8 + 16 π ， 2 + 8 π$ B、 $9 + 16 π ， 2 + 8 π$ C、 $8 + 16 π ， 4 + 8 π$ D、 $9 + 16 π ， 4 + 8 π$

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8. 已知 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y + 2 \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ y + m \leq 0 \end{matrix}$ ，若目标函数 $z = 2 x - y$ 的最大值为 $3$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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9. 在平面直角坐标系中，已知三点 $A (a, 2), B (3, b), C (2, 3), O$ 为坐标原点.若向量 $\overset{⇀}{O B} ⊥ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{18}{5}$ C、 $12$ D、 $18$

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10. 设点 $P$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ 的中点，平面 $α$ 过点 $P$ ，且与直线 $B D_{1}$ 垂直，平面 $α \cap^{}$ 平面 $A B C D = m$ ，则 $m$ 与 $A_{1} C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) - 1 (ω > 0, | φ | < π)$ 的一个零点是 $x = \frac{π}{3}, x = - \frac{π}{6}$ 是 $y = f (x)$ 的图象的一条对称轴，则 $ω$ 取最小值时， $f (x)$ 的单调增区间是（）

A、 $[- \frac{5}{3} π + 3 k π, - \frac{1}{6} π + 3 k π], k \in Z$ B、 $[- \frac{7}{3} π + 3 k π, - \frac{1}{6} π + 3 k π], k \in Z$ C、 $[- \frac{2}{3} π + 2 k π, - \frac{1}{6} π + 2 k π], k \in Z$ D、 $[- \frac{1}{3} π + 2 k π, - \frac{1}{6} π + 2 k π], k \in Z$

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12. 设实数 $m > 0$ ，且不等式 $m x ln x - (x + m) e^{\frac{x + m}{m}} \leq 0$ 对 $x > 0$ 恒成立，则 $m$ 的最大值是（）

A、 $e$ B、 $\frac{e^{2}}{2}$ C、 $2 e$ D、 $e^{2}$

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二、填空题

13. （x+1）²（x-2）⁵的展开式中含 x³ 项的系数为．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x} ， x \leq 0 ， \\ l n x ， x > 0 ， \end{matrix} g (x) = f (x) + 2 x - a .$ 若 $g (x)$ 存在 $2$ 个零点，则 $a$ 的取值范围是．

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15. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $e$ ，若点 $(e, 1)$ 与点 $(- \sqrt{3}, \sqrt{2})$ 都在双曲线 $C$ 上，则该双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为．

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16. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{b cos C}{c cos B} = \frac{1 + cos 2 C}{1 + cos 2 B}$ ， $C$ 是锐角，且 $a = 2 \sqrt{7}$ ， $cos A = \frac{1}{3}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为．

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，其公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，并且满足 $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 28$ , $a_{3} + 2$ 是 $a_{2}$ 和 $a_{4}$ 的等差中项.
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若 $b_{n} = a_{n} \cdot {log}_{2} \frac{1}{a_{n}}$ ， $T_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ ，求使 $T_{n} + n \cdot 2^{n + 1} = 30$ 成立的正整数 $n$ 的值.

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18. 某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终监督评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分（满分

100

分），绘制如下频率分布直方图（分组区间为

[40 ， 50) ， [50 ， 60) ，

[60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100]

），并将分数从低到高分为四个等级：

满意度评分	$[0 ， 60)$	$[60 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
满意度等级	不满意	基本满意	满意	非常满意

已知满意度等级为基本满意的有 $340$ 人.

（Ⅰ）求频率分布直方图中 $a$ 的值及不满意的人数；

（Ⅱ）在等级为不满意的师生中，老师占 $\frac{1}{3}$ ，现从等级的师生中按分层抽样的方法抽取 $12$ 人了解不满意的原因，并从这 $12$ 人中抽取 $3$ 人担任整改督导员，记 $X$ 为整改督导员中老师的人数，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中 $∠ P A B = 90^{\circ} ， A B / / C D$ ，且 $P B = B C = B D = \sqrt{6} ， C D = 2 A B = 2 \sqrt{2} ， ∠ P A D = 120^{\circ} . E$ 和 $F$ 分别是棱 $C D$ 和 $P C$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $C D ⊥ B F$ ；

（Ⅱ）求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成的角的正弦值.

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20. 已知 $p > 0$ ，抛物线 $C_{1}$ ： $x^{2} = 2 p y$ 与抛物线 $C_{2}$ ： $y^{2} = 2 p x$ 异于原点 $O$ 的交点为 $M$ ，且抛物线 $C_{1}$ 在 $M$ 处的切线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，抛物线 $C_{2}$ 在点 $M$ 处的切线与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ .
（Ⅰ）若直线 $y = x + 1$ 与抛物线 $C_{1}$ 交于点 $P$ ， $Q$ ，且 $| P Q | = 2 \sqrt{6}$ ，求 $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{O Q}$ 的值；
（Ⅱ）证明： $Δ B O C$ 的面积与四边形 $A O C M$ 的面积之比为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - k - 1) e^{x}$ .
（Ⅰ）若曲线 $f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线 $l$ 与直线 $y = x$ 垂直，求直线 $l$ 的方程；

（Ⅱ）当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} < 2 k$ .

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22. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，射线 $l$ ： $y = \sqrt{3} x (x \geq 0)$ ，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 c o s α \\ y = 2 s i n α \end{matrix}$ （ $a$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的方程为 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ；以原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $ρ = 8 sin θ$ .
（Ⅰ）写出射线 $l$ 的极坐标方程以及曲线 $C_{1}$ 的普通方程；

（Ⅱ）已知射线 $l$ 与 $C_{2}$ 交于 $O$ ， $M$ ，与 $C_{3}$ 交于 $O$ ， $N$ ，求 $| M N |$ 的值.

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23. [选修4-5：不等式选讲]
已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 2$ ，

求证：（Ⅰ） $a \sqrt{b} + b \sqrt{a} \leq 2$ ；

（Ⅱ） $2 \leq a^{2} + b^{2} < 16$ .

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