河北省石家庄市2019届高中毕业班理数3月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2019-05-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集为 $R$ ，集合 $M = {x | x^{2} < 4}$ ， $N = {0, 1, 2}$ ，则 $M \cap^{} N =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- 2, 2)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z \cdot i = 3 - 4 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $3 - 4 i$ B、 $4 + 3 i$ C、 $- 3 + 4 i$ D、 $- 4 - 3 i$

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3. 甲、乙两人 $8$ 次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是（）

A、 $23$ $22$ B、 $23$ $22.5$ C、 $21$ $22$ D、 $21$ $22.5$

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4. 某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为 $1$ ），则该几何体的体积是（）

A、 $8$ B、 $6$ C、 $4$ D、 $2$

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5. 执行如图所示的程序框图，输入的 $n$ 值为 $4$ ，则 $S =$ （）

A、 $2$ B、 $6$ C、 $14$ D、 $30$

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6. 已知 $a > 0 > b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} < - a b$ B、 $| a | < | b |$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 和抛物线上一点 $M (2, 2 \sqrt{2})$ 的直线 $l$ 交抛物线于另一点 $N$ ，则 $| N F | : | F M |$ 等于（）

A、 $1 : 2$ B、 $1 : 3$ C、 $1 : \sqrt{2}$ D、 $1 : \sqrt{3}$

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8. 袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有和、“谐”、“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。利用电脑随机产生 $1$ 到 $4$ 之间取整数值的随机数，分别用 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ 代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下 $18$ 组随机数：
$\begin{matrix} 343 & 432 & 341 & 342 & 234 & 142 & 243 & 331 & 112 \\ 342 & 241 & 244 & 431 & 233 & 214 & 344 & 142 & 134 \end{matrix}$

由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{5}{18}$

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9. 设函数 $f (x) = sin (ω x + φ) - cos (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $f （ - x ） = f （ x ）$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增

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10. 将函数 $y = e^{x}$ （ $e$ 为自然对数的底数）的图象绕坐标原点 $O$ 顺时针旋转角 $θ$ 后第一次与 $x$ 轴相切，则角 $θ$ 满足的条件是（）

A、 $e s i n θ = cos θ$ B、 $sin θ = e c o s θ$ C、 $e s i n θ = 1$ D、 $e cos θ = 1$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A$ 为双曲线右支上一点，线段 $A F_{1}$ 交左支于点 $B$ .若 $A F_{2} ⊥ B F_{2}$ ，且 $| B F_{1} | = \frac{1}{3} | A F_{2} |$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{65}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $3$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x} ， & x < 0 \\ 4 x^{3} - 6 x^{2} + 1 ， & x ⩾ 0 \end{matrix}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，则对于函数 $g (x) = f^{2} (x) - f (x) + a$ 有下列四个命题：
命题1：存在实数 $a$ 使得函数 $g (x)$ 没有零点

命题2：存在实数 $a$ 使得函数 $g (x)$ 有 $2$ 个零点

命题3：存在实数 $a$ 使得函数 $g (x)$ 有 $4$ 个零点

命题4：存在实数 $a$ 使得函数 $g (x)$ 有 $6$ 个零点

其中，正确的命题的个数是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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二、填空题

13. 命题 $p : \exists x_{0} \in (0, + \infty)$ , $x_{0}^{2} \leq x_{0} + 2$ ，则 $\neg p$ 是；

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14. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ， $\vec{c} = (3, 2 x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} + \vec{c} | =$ ；

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15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ . $O$ 为对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点，若 $P B = 1$ ， $∠ A P B = ∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，则三棱锥 $P - A O B$ 的外接球的体积是；

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16. 在 $Δ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，若 $c cos B + b cos C = 2 a cos A$ ， $\overset{⇀}{A M} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ ，且 $A M = 1$ ，则 $b + 2 c$ 的最大值是.

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 是首项为 $1$ 的等比数列，各项均为正数，且 $a_{2} + a_{3} = 12$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{(n + 2) {log}_{3} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：

年份	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
投资金额 $x$ （万元）	$4.5$	$5.0$	$5.5$	$6.0$	$6.5$	$7.0$	$7.5$
年利润增长 $y$ （万元）	$6.0$	$7.0$	$7.4$	$8.1$	$8.9$	$9.6$	$11.1$

(1)、请用最小二乘法求出

y

关于

x

的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为

8

万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？（结果保留两位小数）

(2)、现从2012年—2018年这

7

年中抽出三年进行调查，记

λ =

年利润增长

-

投资金额，设这三年中

λ ⩾ 2

（万元）的年份数为

ξ

，求随机变量

ξ

的分布列与期望.

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 359.6$ ， $\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} = 259$ .

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19. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 为菱形， $A_{1} C = B C$ .

(1)、求证： $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、若 $∠ A B B_{1} = 60 °$ ， $∠ C B A = ∠ C B B_{1}$ ， $A C ⊥ B_{1} C$ ，求二面角 $B - A C - A_{1}$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且经过点 $(- 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(\sqrt{3}, 0)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，试问在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ 使得直线 $Q A$ 与直线 $Q B$ 恰关于 $x$ 轴对称？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a ln (1 - x)$ ， $a$ 为常数.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $f (x_{2}) - x_{1} > - \frac{3 + ln 4}{8}$ .

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22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 cos θ$ ，以极点 $O$ 为直角坐标原点，以极轴为 $x$ 轴的正半轴建立平面直角坐标系 $x O y$ ，将曲线 $C_{1}$ 向左平移 $2$ 个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标保持不变，得到曲线 $C_{2}$

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 t \\ y = - 1 + 3 t \end{matrix}$ ，（ $t$ 为参数），点 $Q$ 为曲线 $C_{2}$ 上的动点，求点 $Q$ 到直线 $l$ 距离的最大值.

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23. [选修4-5：不等式选讲]
设函数 $f (x) = | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 5 - f (x - 3)$ 的解集；

(2)、已知关于 $x$ 的不等式 $2 f (x) + | x + a | \leq x + 4$ 在 $[- 1, 1]$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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