浙江省嘉兴市七校2018-2019学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-05-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. ${cos}^{2} 15 ° - {sin}^{2} 15 °$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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2. 等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} = 7$ ， $a_{5} = 13$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、16 B、17 C、18 D、19

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3. 实数数列 $1$ ， $a$ ， $16$ 为等比数列，则 $a$ 等于（）

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $2$ D、 $- 4$ 或 $4$

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4. 已知 $tan α = 2$ ， $tan β = 3$ ，则 $tan (α + β) =$ （）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $- \frac{1}{7}$

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5. 在 $Δ A B C$ 中，如果 $B C = 6$ , $A B = 4$ ， $cos B = \frac{1}{3}$ ，则 $A C$ =（）

A、 $6$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $3$ D、 $4 \sqrt{6}$

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6. 在 $Δ A B C$ 中，若 $A = 60 °$ , $a = \sqrt{3}$ ，则 $Δ A B C$ 的外接圆面积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $π$ D、 $4 π$

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7. 在 $Δ A B C$ 中， $\frac{a}{cos B} = \frac{b}{cos A}$ ，则 $Δ A B C$ 一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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8. 化简 $\sqrt{2 - {sin}^{2} 2 + cos 4}$ 的结果是（）

A、 $sin 2$ B、 $- cos 2$ C、 $\sqrt{3} cos 2$ D、 $- \sqrt{3} cos 2$

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9. 已知 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = 2 - A \cdot 2^{n - 1}$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、510 B、 $-$ 510 C、1022 D、 $-$ 1022

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10. 我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdot \cdot \cdot, \frac{1}{n}$ ①

第二部：将数列①的各项同乘以 $n$ ，得到数列（记为） $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ ，则 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n - 1} a_{n} =$ （）

A、 $n^{2}$ B、 ${(n - 1)}^{2}$ C、 $n (n - 1)$ D、 $n (n + 1)$

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二、填空题

11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{7} = 19$ ，则 $a_{3} + a_{5} =$ ， $S_{7} =$ .

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12. $sin 44^{ο} cos 14^{ο} - cos 44^{ο} sin 14^{ο} =$ ， $sin 75 ° =$ .

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13. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β - α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $sin α = \frac{3}{5}$ ， $cos (β - α) = \frac{1}{3} ，$ 则 $sin (β - α) =$ ， $sin β =$ .

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - 2 n + 2$ ，则 $a_{1} =$ ， $a_{n} =$ ．

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15. 若 $Δ A B C$ 的三边长为2，3，4，则 $Δ A B C$ 的最大角的余弦值为．

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16. 已知 $Δ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边且 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ， $A = 30^{ο}$ ，则 $B =$ .

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三、解答题

17. 设锐角 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 2 b sin A$

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 3 \sqrt{3}$ ， $c = 5$ 求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 设函数 $f (x) = \frac{3}{2} cos 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} sin 2 x$ ．

(1)、化简并求函数 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ 及最值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间．

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19. 已知 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B - {sin}^{2} C =$ $- \sqrt{3} sin A sin B$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $\sqrt{3} a + b$ 的取值范围．

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20. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，公差 $d > 0$ ，且 $a_{2} + a_{6} = 8$ ， $a_{3} a_{5} = 12$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = (a_{n} + 4) \cdot 2^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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