浙江省嘉兴市七校2018-2019学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2019-05-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = 1 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 设 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆的焦点，若 $| P F_{1} | = 3$ ，则 $| P F_{2} |$ 等于（）

A、2 B、3 C、5 D、7

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3. 用数学归纳法证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N^{*} ， n > 1)$ 时，第一步应验证不等式（）

A、 $1 + \frac{1}{2} < 2$ B、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 2$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 3$ D、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} < 3$

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4. 设 $f (x) = x ln x$ ，若 $f^{'} (x_{0}) = 2$ ，则 $x_{0} =$ （）

A、 $ln 2$ B、 $\frac{ln 2}{2}$ C、 $e$ D、 $e^{2}$

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5. 函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - ln x$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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6. 曲线 $y = x e^{x} + 1$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线方程是 $($ $)$

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $2 x - y + 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x - 2 y + 2 = 0$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为（）

A、 $y = \frac{1}{4} x$ B、 $y = 4 x$ C、 $y = \frac{1}{2} x$ D、 $y = 2 x$

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y = 4$ 与 $C$ 的交点为 $P$ ，与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，且 $| P F | = \frac{3}{2} | P Q |$ ，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(2 \sqrt{2} ， 4)$ C、 $(4 ， 4)$ D、 $(4 \sqrt{2} ， 4)$

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9. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 和双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的公共焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $A$ 是两曲线的一个公共点，则 $| A F_{1} | \cdot | A F_{2} |$ 的值等于（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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10. 已知 $a ， b \in (0 ， e)$ ，且 $a < b$ ，则下列式子中一定正确的是（）

A、 $a ln b < b ln a$ B、 $a ln b > b ln a$ C、 $a ln a > b ln b$ D、 $a ln a < b ln b$

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二、填空题

11. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的离心率是，渐近线方程是

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12. 已知函数 $f (x) = 4 ln x + a x^{2} - 6 x$ ( $a$ 为常数)，若 $x = 2$ 为 $f (x)$ 的一个极值点，则 $f^{'} (2) =$ . $a =$ .

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13. 已知 $a ， b \in R$ 且 ${(a + b i)}^{2} = 3 + 4 i$ （i是虚数单位）则 $a^{2} - b^{2} =$ ， $a b =$

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14. 若 $M$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上一点，且 $| M F | = 5 ， O$ 为坐标原点，则该抛物线的准线方程为.线段 $| M O | =$ ，

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15. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为( $\sqrt{3}$ ，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是

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16. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + c$ 有两个零点，则 $c$ 的取值范围是.

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17. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交椭圆于 $A 、 B$ 两点，直线 $A F_{2}$ 与椭圆的另一个交点为 $C$ ，若 $\overset{⇀}{A C} = 3 \overset{⇀}{F_{2} C}$ ，则椭圆的离心率为

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三、解答题

18. 已知复数 $z = \frac{a}{1 + 2 i} + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $a \in R$ .
（Ⅰ）若 $z \in R$ ，求实数 $a$ 的值；

（Ⅱ）若 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} (x - \frac{1}{2})$
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的值域.

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20. 如图，已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 焦点为 $F$ ，直线 $l$ 经过点 $F$ 且与抛物线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点

（Ⅰ）若线段 $A B$ 的中点在直线 $y = 2$ 上，求直线 $l$ 的方程；

（Ⅱ）若线段 $| A B | = 20$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = x ln x + a x^{2} - 1$ ，且 $f' (1) = - 1$ ．
（Ⅰ）求 $a$ 的值；

（Ⅱ）若对于任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) - m x \leq - 1$ ，求 $m$ 的最小值．

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22. 在 $R t △ A B C 中， ∠ C A B = 90 ° ， A B = 2 ， A C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，一曲线 $E$ 过 $C$ 点，动点 $P$ 在曲线 $E$ 上运动，且保持 $| P A | + | P B |$ 的值不变．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线 $E$ 的方程；

（Ⅱ）直线 $l$ ： $y = x + t$ 与曲线 $E$ 交于 $M ， N$ 两点，求四边形 $M A N B$ 的面积的最大值．

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