江苏省无锡市江阴四校2018-2019学年高二下学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-05-17 类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 4} ， B = {2 ， 4 ， 6}$ ，则 $A \cup^{} B =$ .

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2. 命题 $“ \exists x \in R ， x^{2} - 2 \leq 0 ”$ 的否定是．

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3. 函数f（x）= $\sqrt{x + 1} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为．

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4. 已知复数 $z = (1 + i) (1 + 3 i)$ ，其中i是虚数单位，则 $| z |$ 的值是．

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5. 已知幂函数 $y = x^{m^{2} - 9}$ ( $m \in N^{*}$ )的图象关于 $y$ 轴对称，且在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上是减函数，则 $m =$ .

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6. 如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n（n≥2）行的第2个数为．

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7. 若复数 $z$ 满足 $| z | = 1$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z - 2 i |$ 的最小值是.

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8. 偶函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称， $f (3) = 3$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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9. 若 $x \in {- 1 ， m}$ 是不等式 $2 x^{2} - x - 3 \leq 0$ 成立的充分不必要条件，则实数 $m$ 的范围是.

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10. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = 3^{x - 1} (- 3 < x \leq 0) ， f (x) = f (x + 3) ，$ 则 $f (2019) =$ .

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {(\frac{1}{2})}^{x} - 1 ， x \geq 1 \\ (a - 2) x + 1 ， x < 1 \end{matrix}$ 为 $R$ 上的单调减函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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12. 若函数 $f (x) = | 2^{x} - 4 | - a$ 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则 $a$ 的取值范围为.

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13. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} {(x - a)}^{2} - 1 ， x \leq 1 \\ l n x ， x > 1 \end{matrix}$ ，若 $f (x) \geq f (1)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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14. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若满足① $f (x)$ 在 $D$ 内是单调函数，②存在 $[a ， b] \subseteq D$ ，使 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上的值域为 $[- b ， - a]$ ，那么 $y = f (x)$ 叫做对称函数，现有 $f (x) = \sqrt{4 - x} - k$ 是对称函数，那么实数 $k$ 的取值范围是.

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二、解答题

15. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 8 < 0}$ ， $B = {x | \frac{x - m + 3}{x - m} < 0 ， m \in R}$ ．

(1)、若 $A \cap^{} B = (2 ， 4)$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求 $m$ 的取值范围．

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16. 已知命题 $p$ ：指数函数 $f (x) = {(2 a - 6)}^{x}$ 在 $R$ 上单调递减，命题 $q$ ：关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} + 1 = 0$ 的两个实根均大于3.若 $" p$ 或 $q "$ 为真， $" p$ 且 $q "$ 为假，求实数 $a$ 的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{m}{e^{x}}$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 的奇函数（其中 $e$ 是自然对数的底数）.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $f (a - 1) + f (2 a^{2}) \leq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 某乡镇为了进行美丽乡村建设，规划在长为10千米的河流 $O C$ 的一侧建一条观光带，观光带的前一部分为曲线段 $O A B$ ，设曲线段 $O A B$ 为函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ， $x \in [0 ， 6]$ （单位：千米）的图象，且曲线段的顶点为 $A (4 ， 4)$ ；观光带的后一部分为线段 $B C$ ，如图所示.

(1)、求曲线段 $O A B C$ 对应的函数 $y = f (x) ， x \in [0 ， 10]$ 的解析式；

(2)、若计划在河流 $O C$ 和观光带 $O A B C$ 之间新建一个如图所示的矩形绿化带 $M N P Q$ ，绿化带由线段 $M Q ， Q P ， P N$ 构成，其中点 $P$ 在线段 $B C$ 上．当 $O M$ 长为多少时，绿化带的总长度最长？

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19. 已知函数 $f (x) = {log}_{a} \frac{x - 5}{x + 5} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ．

(1)、当 $a = 2 ， x \in [10 ， 15]$ 时求 $f (x)$ 的值域；

(2)、设 $g (x) = {log}_{a} (x - 3)$ ，若方程 $f (x) - 1 = g (x)$ 有实根，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x | x - a | + b x (a ， b \in R)$ ^.

(1)、当 $b = - 1$ 时，函数 $f (x)$ 恰有两个不同的零点，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $b = 1$ 时， $①$ 若对任意 $x \in [1 ， 3]$ ，恒有 $\frac{f (x)}{x} \leq 2 \sqrt{x + 1}$ ，求 $a$ 的取值范围；
$②$ 若 $a > 0$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的最大值 $g (a) .$

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