天津市2019届高三数学4月份联考试卷

试卷更新日期：2019-05-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，集合 $A = {x | x^{2} + x - 2 = 0}$ ， $B = {0, - 2}$ ，则 $B \cap^{} (C_{U} A) =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${- 2, 0}$ C、 ${- 1, - 2}$ D、 ${0}$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $| x - 2 | < 1$ ”是“ $\frac{x + 2}{x - 1} > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）

A、21 B、58 C、141 D、318

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4. 抛物线 $y^{2} = a x (a > 0)$ 的准线与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两条渐近线所围成的三角形面积为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $8$ B、 $6$ C、 $4$ D、 $2$

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5. $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 中心对称（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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6. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (3 - x) = f (3 + x)$ ，且对任意 $x_{1} ， x_{2} \in$ （0，3)都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，若 $a = 2^{- \sqrt{3}}$ ， $b = {log}_{2} 3$ ， $c = e^{ln 4}$ ，则下面结论正确的是（）

A、 $f (a) < f (b) < f (c)$ B、 $f (c) < f (a) < f (b)$ C、 $f (c) < f (b) < f (a)$ D、 $f (a) < f (c) < f (b)$

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7. 边长为 $2$ 的菱形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 是线段 $O D$ 的中点， $A E$ 的延长线与 $C D$ 相交于点 $F$ .若 $∠ B A D = 60 °$ ，则 $\overset{⇀}{B E} \cdot \overset{⇀}{E F} =$ （）

A、 $1$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{21}{20}$

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二、填空题

8. 设复数 $z = \frac{2 i}{i + 1}$ ，则 $z + \bar{z}$ = ．

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9. 已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为．

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10. 已知直线 $l : y = k x (k > 0)$ 为圆 $C : {(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，则 $k$ ．

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数， $f (1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} > 0$ 的解集是．

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12. 已知 $a > 1, b > 1$ ，若 ${log}_{a} 2 + {log}_{b} 16 = 3$ ，则 ${log}_{2} (a b)$ 的最小值为．

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x l n x ， x > 0 \\ x + \frac{1}{x} + 2 ， x < 0 \end{matrix}$ ，若方程 ${[f (x)]}^{2} + a f (x) + \frac{1}{4 e^{2}} = 0$ 有八个不等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

14. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ . $cos (π - B) = \frac{2}{3}$ ， $c = 1$ ， $a sin B = \sqrt{6} c sin A$ .
（Ⅰ）求边 $a$ 的值；

（Ⅱ）求 $cos (2 B + \frac{π}{3})$ 的值.

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15. 点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势.某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ ，每人限点一餐，且100%中奖.现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃.
(Ⅰ) 求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；

(Ⅱ) 这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用 $X$ 、 $Y$ 表示，记 $ξ = X Y$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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16. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．

（Ⅰ）若M为PC的中点，求证DM∥面PAB；

（Ⅱ）求证：面PAB⊥面PBC；

（Ⅲ）求AC与面PBC所成角的大小．

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17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1} ， S_{2} ， S_{4}$ 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）令 $b_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{4 n^{2} + 4 n - 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{2 n}$ ；

（Ⅲ）若对于 $\forall n \in N^{*}$ ， $T_{2 n} < λ^{2} - 2 λ - 2$ 恒成立，求 $λ$ 范围.

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，左右顶点分别为A，B，过右焦点F₂且垂直于长轴的直线交椭圆于G，H两点，|GH|=3，△F₁GH的周长为8．过A点作直线l交椭圆于第一象限的M点，直线MF₂交椭圆于另一点N，直线NB与直线l交于点P.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若△AMN的面积为 $\frac{18 \sqrt{2}}{7}$ ，求直线MN的方程；

（Ⅲ）证明：点P在定直线上．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 ln x - x^{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在点 $P (2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 与 $y = m$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 内恰有一个交点，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、令 $g (x) = f (x) - n x$ ，如果 $g (x)$ 图象与 $x$ 轴交于 $A (x_{1} ， 0) ， B (x_{2} ， 0) (x_{1} < x_{2})$ ， $A B$ 中点为 $C (x_{0} ， 0)$ ，求证： $g^{'} (x_{0}) \neq 0$ .

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