陕西省延安市2019届高三理数高考模拟试题（一)

试卷更新日期：2019-05-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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2. 已知集合 $A = {y | y = 2^{x} ， x \in R}$ ， $B = {x | y = lg (2 - x)}$ 则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， 2]$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(0 ， 2]$

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3. $AQI$ 即空气质量指数， $AQI$ 越小，表明空气质量越好，当 $AQI$ 不大于 $AQI$ 时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日 $AQI$ 的统计数据.则下列叙述正确的是（）

A、这 $12$ 天的 $AQI$ 的中位数是 $90$ B、 $12$ 天中超过 $7$ 天空气质量为“优良” C、从3月4日到9日，空气质量越来越好 D、这 $12$ 天的 $AQI$ 的平均值为 $100$

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4. 已知平面向量 $\vec{a} =$ （2，3）， $\vec{b} =$ （x，4），若 $\vec{a}$ ⊥（ $\vec{a} - \vec{b}$ ），则 $x =$ （）

A、 $1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $3$

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5. 已知 $m$ ， $n$ 表示两条不同的直线， $α$ 表示平面.下列说法正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ D、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$

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6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，竹松何日而长等.如图是源于思想的一个程序框图，若输入的 $a$ ， $b$ 分别为 $5$ 和 $2$ ，则输出的 $n =$ （）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $3$ D、 $2$

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7. 函数 $f (x) = \sqrt{3} sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则 $φ$ 等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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8. 已知 $a$ 为常数， $a = \int_{0}^{1} 2 x d x$ ，则 ${(\sqrt{x} - \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、 $10$ B、 $12$ C、 $15$ D、 $16$

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线与圆 ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4$ 相切，则该双曲线的离心率为（）

A、 $2$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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10. 设函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (x + π) = f (x) + sin x,$ ，当 $o \leq x < π$ ， $f (x) = 0$ ，则 $f (\frac{23 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $0$ D、 $- \frac{1}{2}$

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11. 正三角形 $A B C$ 的边长为 $2$ ，将它沿高 $A D$ 折叠，使点 $B$ 与点 $C$ 间的距离为 $\sqrt{3}$ ，则四面体 $A B C D$ 外接球的表面积为（）

A、 $6 π$ B、 $7 π$ C、 $8 π$ D、 $9 π$

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12. 已知函数 $f (x) = | lg (x - 1) |$ ，若 $1 < a < b$ 且 $f (a) = f (b)$ ，则实数 $2 a + b$ 的取值范围是（）

A、 $[3 + 2 \sqrt{2} ， + \infty)$ B、 $(3 + 2 \sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $[6 ， + \infty)$ D、 $(6 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 在 $Δ A B C$ 中，若 $A B = \sqrt{13}$ ， $B C = 3$ ， $∠ C = 120 °$ ，则 $A C =$ ．

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14. 若实数 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} x - 3 y + 5 \geq 0 ， \\ 2 x + y - 4 \leq 0 ， \\ y + 2 \geq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = x + y$ 的最小值为．

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15. 甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科 $A ， B ， C$ ，已知：①甲不在延安工作，乙不在咸阳工作；②在延安工作的教师不教 $C$ 学科；③在咸阳工作的教师教 $A$ 学科；④乙不教 $B$ 学科.可以判断乙工作地方和教的学科分别是、．

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，若 $| A F | = \frac{2}{3}$ ， $| B F | = 2$ ，则 $p =$ ．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = f (n)$ ， $n \in N_{+}$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $c_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在几何体 $A B C D E$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $A B ⊥$ 平面 $B E C$ ， $B E ⊥ E C$ ， $A B = B E = E C$ ， $G$ ， $F$ 分别是线段 $B E$ ， $D C$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $G F / /$ 平面 $A D E$ ；

（Ⅱ）求平面 $A E F$ 与平面 $B E C$ 所成角的余弦值.

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19. 某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每千克 $20$ 元，成本为每千克 $15$ 元，销售宗旨是当天进货当天销售，如果当天卖不完，那么未售出的部分全部处理，平均每千克损失 $3$ 元.根据以往的市场调查，将市场日需求量（单位：千克）按 $[50 ， 150)$ ， $[150 ， 250)$ ， $[250 ， 350)$ ， $[350 ， 450)$ ， $[450 ， 550)$ 进行分组，得到如图的频率分布直方图.

（Ⅰ）未来连续三天内，连续两天该种鲜钱的日需求量不低于 $350$ 千克，而另一天的日需求量低于 $350$ 千克的概率；

（Ⅱ）在频率分布直方图的日需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值，并以日需求量落入该区间的频率作为日需求量取该区间中点值的概率.若经销商每日进货 $400$ 千克，记经销商每日利润为 $X$ （单位：元），求 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 已知两直线方程 $l_{1} : y = \frac{\sqrt{2}}{2} x$ 与 $l_{2} : y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x$ ，点 $A$ 在 $l_{1}$ 上运动，点 $B$ 在 $l_{2}$ 上运动，且线段 $A B$ 的长为定值 $2 \sqrt{2}$ .
（Ⅰ）求线段 $A B$ 的中点 $C$ 的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线 $l_{1} : y = k x + m$ 与点 $C$ 的轨迹相交于 $M$ ， $N$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $k_{O M} \cdot k_{O N} = \frac{5}{4}$ ，求原点 $O$ 的直线 $l$ 的距离的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a x + 1 - x ln x$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x - y = 0$ 平行.
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的极值；

（Ⅱ）若对于 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > m (x_{1} + x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} + 2 c o s α ， \\ y = 2 + 2 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），直线 $C_{2}$ 的方程为 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线 $C_{2}$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，求 $| O P | \cdot | O Q |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 |$ ， $x \in R$ .
（Ⅰ）解不等式 $f (x) < | x | + 1$ ；

（Ⅱ）若对 $x$ ， $y \in R$ ，有 $| x - y - 1 | \leq \frac{1}{3}$ ， $| 2 y + 1 | \leq \frac{1}{6}$ ，求证： $f (x) \leq \frac{5}{6}$ .

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