2016-2017学年浙江省湖州市高二下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-05-19 类型：期中考试

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一、选择题：

1. 设全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁_UB=（）

A、{x|0≤x＜1} B、{x|0＜x≤1} C、{x|x＜0} D、{|x＞1}

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2. “x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）

A、若l∥α，m∥α，则l∥m B、若l⊥m，m∥α，则l⊥α C、若l⊥α，m⊥α，则l∥m D、若l⊥m，l⊥α，则m∥α

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4. 已知x，y满足 ${\begin{cases} x \geq 1 \\ x + y \leq 4 \\ x - 2 y - 1 \leq 0 \end{cases}$ ，则z=2x+y的最大值为（）

A、3 B、4 C、6 D、7

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5. 已知a，b，c∈R函数f（x）=ax²+bx+c．若f（1）=f（3）＞f（4），则（）

A、a＞0，4a+b=0 B、a＜0，4a+b=0 C、a＞0，2a+b=0 D、a＜0，2a+b=0

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6. 设{a_n}是等差数列，下列结论中正确的是（）

A、若a₁+a₂＞0，则a₂+a₃＞0 B、若a₁+a₂＜0，则a₂+a₃＜0 C、若0＜a₁＜a₂ ，则a₂＞ $\sqrt{a_{1} a_{3}}$ D、若a₁＜0，则（a₂﹣a₁）（a₂﹣a₃）＜0

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7. 函数f（x）= $\frac{\sin x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知抛物线y²=8x的准线与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程是y= $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{36}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{6}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{16}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{3}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{6}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{32}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{3}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{16}$ =1

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9. 将函数f（x）= $\sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}$ ﹣ $\sqrt{3}$ （x∈[0，2]）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ （θ为锐角），若所得曲线仍是函数的图象，则θ的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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10. 在直三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ，AB=AC=AA₁=1，已知G和E分别为A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）

A、[ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，1） B、[ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，1] C、（ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，1） D、[ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，1）

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二、填空题

11. 已知函数f（x）= ${\begin{cases} | x - 1 | (x \leq 1) \\ 3^{x} (x > 1) \end{cases}$ ，则f（f（﹣2））= ，若f（a）=2，则a= ．

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12. 动直线l：y=kx﹣k+1（k∈R）经过的定点坐标为，若l和圆C：x²+y²=r²恒有公共点，则半径r的最小值是．

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13. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的所有棱长之和为 cm，体积为 cm³ ．

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14. 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则ω= ， φ= ．

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15. 设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则 $\frac{y^{2}}{x z}$ 的最小值是．

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16. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{b}$ |=2，| $\vec{a}$ |=2| $\vec{b}$ ﹣ $\vec{a}$ |，则| $\vec{a}$ |的取值范围是．

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17. 已知函数y=|sin²x﹣4sinx﹣a|的最大值为4，则常数a= ．

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三、解答题

18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=asin2B．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b= $\sqrt{10}$ ，a+c=ac，求△ABC的面积．

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19. 如图，点B是以AC为直径的圆周上的一点，PA=AB=BC，AC=4，PA⊥平面ABC，点E为PB中点．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直线AE与平面PAC所成角的大小．

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20. 已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

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21.
如图，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率e= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点（0，﹣b），（a，0）的直线与原点的距离为 $\sqrt{2}$ ，M（x₀ ， y₀）是椭圆上任一点，从原点O向圆M：（x﹣x₀）²+（y﹣y₀）²=2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若记直线OP，OQ的斜率分别为k₁ ， k₂ ，试求k₁k₂的值．

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22. 已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n₊₁= $\frac{a_{n}}{a_{n}^{2} + 1}$ ．
（Ⅰ）求证：a_n₊₁＜a_n；
（Ⅱ）求证： $\frac{1}{2^{n - 1}}$ ≤a_n≤ $\frac{2^{n}}{3 \cdot 2^{n} - 4}$ ．

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