2016-2017学年山东省济宁市微山一中高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-19 类型：期中考试

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一、选择题

1. 复数 $z = \frac{2 - i}{2 + i}$ （i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 函数f（x）=x³+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（）

A、10 B、5 C、﹣1 D、 $- \frac{3}{7}$

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3. 下面几种推理中是演绎推理的序号为（）

A、由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电 B、猜想数列 $\frac{1}{1 \times 2} ， \frac{1}{2 \times 3} ， \frac{1}{3 \times 4} ， \dots$ {a_n}的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ （n∈N₊） C、半径为r圆的面积S=πr² ，则单位圆的面积S=π D、由平面直角坐标系中圆的方程为（x﹣a）²+（y﹣b）²=r² ，推测空间直角坐标系中球的方程为（x﹣a）²+（y﹣b）²+（z﹣c）²=r²

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4. 函数y=x³﹣3x²﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）

A、极大值5，极小值﹣27 B、极大值5，极小值﹣11 C、极大值5，无极小值 D、极小值﹣27，无极大值

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5. 函数 $y = 4 x^{2} + \frac{1}{x}$ 单调递增区间是（）

A、（0，+∞） B、（﹣∞，1） C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、（1，+∞）

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6. 下列计算错误的是（）

A、 $\int_{- π}^{π}$ sinxdx=0 B、 $\int_{0}^{1}$ $\sqrt{x}$ dx= $\frac{2}{3}$ C、 $\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$ cosxdx=2 $\int_{0}^{\frac{π}{2}}$ cosxdx D、 $\int_{- π}^{π}$ sin²xdx=0

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7. 用数学归纳法证明 $\frac{1}{n + 1}$ + $\frac{1}{n + 2}$ +…+ $\frac{1}{3 n + 1}$ ＞1（n∈N₊）时，在验证n=1时，左边的代数式为（）

A、 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8. 函数y=ax³﹣x在（﹣∞，+∞）上的减区间是[﹣1，1]，则（）

A、a= $\frac{1}{3}$ B、a=1 C、a=2 D、a≤0

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9. 若z₁ ， z₂∈C，z₁ $\vec{z_{2}}$ + $\vec{z_{1}}$ z₂是（）

A、纯虚数 B、实数 C、虚数 D、不能确定

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10. 在空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ ﹣ $\frac{2}{3}$ $\vec{b}$ + $\frac{1}{2}$ $\vec{c}$ B、﹣ $\frac{2}{3}$ $\vec{a}$ + $\frac{1}{2}$ $\vec{b}$ + $\frac{1}{2}$ $\vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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11. 已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）

A、（﹣1，1） B、（﹣1，+∞） C、（﹣∞，﹣1） D、（﹣∞，+∞）

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12. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（）

A、C₄H₉ B、C₄H₁₀ C、C₄H₁₁ D、C₆H₁₂

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二、填空题

13. 若向量 $\vec{a}$ =（1，1，x）， $\vec{b}$ =（1，2，1）， $\vec{c}$ =（1，1，1），满足条件（ $\vec{c}$ ﹣ $\vec{a}$ ）•（2 $\vec{b}$ ）=﹣2，则x= ．

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14. 垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x³+3x²﹣5相切的直线方程是

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15. 已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为 $\frac{27}{4}$ ，则a的值为．

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16. 若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则 $\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ ，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记M= $\frac{1}{P O^{2}}$ ，N= $\frac{1}{P A^{2}} + \frac{1}{P B^{2}} + \frac{1}{P C^{2}}$ ，那么M、N的大小关系是．

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三、解答题

17. 设x，y都是正数，且x+y＞2．证明： $\frac{1 + x}{y}$ ＜2和 $\frac{1 + y}{x}$ ＜2中至少有一个成立．

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18. 设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求 $\vec{z}$ ．

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19. 已知函数f（x）=ax³+bx+1的图象经过点（1，﹣3）且在x=1处f（x）取得极值．求：

(1)、函数f（x）的解析式；

(2)、f（x）的单调递增区间．

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20. 如图所示，在三棱锥S﹣ABC中，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC的中点，求二面角A﹣SC﹣B的余弦值．

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21. 用数学归纳法证明： $\frac{1^{2}}{1 \cdot 3} + \frac{2^{2}}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{n^{2}}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{n (n + 1)}{2 (2 n + 1)} (n \in N^{*})$ ．

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22. 已知f（x）=﹣x³+ax，其中a∈R，g（x）=﹣ $\frac{1}{2}$ x $^{\frac{3}{2}}$ ，且f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立．求实数a的取值范围．

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