2016-2017学年江西省赣州市十四县（市）联考高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-19 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设i是虚数单位，则复数z= $\frac{1 - 3 i^{3}}{1 - 2 i}$ 的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 用反证法证明命题“若自然数a，b，c的积为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）

A、a，b，c中至多有一个偶数 B、a，b，c都是奇数 C、a，b，c至多有一个奇数 D、a，b，c都是偶数

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3. 若（x﹣ $\frac{2}{x^{2}}$ ）ⁿ的展开式中二项式系数之和为64，则n等于（）

A、5 B、7 C、8 D、6

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4. 若曲线f（x）=x³﹣ax²+b在点（1，f（1））处切线的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则a等于（）

A、2 B、﹣2 C、3 D、﹣1

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5. 把2名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，甲班必须且只能分配1名新生，则不同的分配方法有（）

A、3种 B、4种 C、6种 D、8种

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6. 已知复数z=（3a+2i）（b﹣i）的实部为4，其中a、b为正实数，则2a+b的最小值为（）

A、2 B、4 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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7. 观察下列各式： $\frac{1}{1 + 2}$ = $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{1 + 2}$ + $\frac{1}{1 + 2 + 3}$ = $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{1 + 2}$ + $\frac{1}{1 + 2 + 3}$ + $\frac{1}{1 + 2 + 3 + 4}$ = $\frac{3}{5}$ …，则 $\frac{1}{1 + 2}$ + $\frac{1}{1 + 2 + 3}$ +…+ $\frac{1}{1 + 2 + \dots + 12}$ 等于（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{11}{12}$ C、 $\frac{11}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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8. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣4处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知椭圆M：（x﹣2）²+y²=4，则过点（1，1）的直线中被圆M截得的最短弦长为2 $\sqrt{2}$ ．类比上述方法：设球O是棱长为3的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的外接球，过AC₁的一个三等分点作球O的截面，则最小截面的面积为（）

A、π B、4π C、5π D、6π

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10. 设（2﹣x）⁶=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…+a₆（1+x）⁶ ，则a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆等于（）

A、4 B、﹣71 C、64 D、199

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11. “a≥3 $\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos θ d θ$ ”是“直线l：2ax﹣y+2a²=0（a＞0）与双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{4}$ =1的右支无交点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 已知函数f（x）=e^x（x²﹣bx）（b∈R）在区间[ $\frac{1}{2}$ ，2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）

A、（﹣∞， $\frac{8}{3}$ ） B、（﹣∞， $\frac{5}{6}$ ） C、（﹣ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{5}{6}$ ） D、（ $\frac{8}{3}$ ，+∞）

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二、填空题

13. 复数z满足（z+2i）i=3﹣i，则|z|= ．

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14. 函数f（x）=﹣ $\frac{4}{5}$ x﹣cosx在[0， $\frac{π}{4}$ ]上的最大值为．

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15. 3男3女共6名同学排成一排合影，要求女同学不站两头且不全相邻，则不同的排法种数为．

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16. 将全体正整数排成一个三角形的数阵：
按照以上排列的规律，第n行（n≥2）从左向右的第3个数为．

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三、解答题

17. 解答题

(1)、从0，1，2，3，4，5这六个数字任取3个，问能组成多少个没有重复数字的三位数？

(2)、若（x⁶+3）（x²+ $\frac{a}{x}$ ）⁵的展开式中含x¹⁰项的系数为43，求实数a的值．

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18. 已知函数f（x）= $\frac{1}{3}$ x³﹣x²+x．

(1)、求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值；

(2)、若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间．

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19. 如图，已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在AB上．

(1)、若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；

(2)、当 $\frac{B D}{A B}$ = $\frac{1}{5}$ 时，求二面角B﹣CD﹣B₁的余弦值．

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20. 在数列{a_n}中，a₁= $\frac{1}{3}$ ，且 $\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{2 n - 1}$ =na_n（n∈N₊）．

(1)、写出此数列的前4项；

(2)、归纳猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

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21. 已知椭圆G： $\frac{x^{2}}{3 b^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（b＞0）的上、下顶点和右焦点分别为M、N和F，且△MFN的面积为4 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆G的方程；

(2)、若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点．以AB为底作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2），求△PAB的面积．

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22. 已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．

(1)、讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；

(2)、设g（x）=﹣ $\frac{a + 1}{x}$ ，若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．

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