湖南省张家界市慈利县2018-2019学年高一下学期数学期中检测试卷

试卷更新日期：2019-05-16 类型：期中考试

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一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共计60分）

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中, $a_{5} = 10$ ， $a_{7} = 14$ ，则公差 $d =$ （）

A、1 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 1$

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2. 若 $a > b ， c > d ，$ 下列不等式正确的是（）

A、 $c - b > d - a$ B、 $a c > b d$ C、 $a - c > b - d$ D、 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$

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3. 在△ABC中，已知 $a = 8$ ，∠B=30°， $b = 4$ ，则 $c$ 等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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4. 若三个实数 $a 、 b 、 c$ 成等比数列，其中 $a = 3 - \sqrt{5}$ ， $c = 3 + \sqrt{5}$ ，则 $b =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\pm 2$ D、4

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5. 设 $0 < a < b$ ，且 $a + b = 1$ ，则下列四个数中最大的是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $a^{2} + b^{2}$ C、 $2 a b$ D、 $a$

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6. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是 $60 m$ ，则河流的宽度BC等于（）

A、 $240 (\sqrt{3} - 1) m$ B、 $180 (\sqrt{2} - 1) m$ C、 $120 (\sqrt{3} - 1) m$ D、 $30 (\sqrt{3} - 1) m$

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7. 若数列 ${a_{n}}$ 中, $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 3 a_{n}} ，$ 则这个数列的第10项 $a_{10} =$ （）

A、28 B、29 C、 $\frac{1}{28}$ D、 $\frac{1}{29}$

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8. 已知平面区域如图所示， $z = m x + y (m > 0)$ 在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{20}$ B、 $- \frac{7}{20}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、不存在

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9. 二次方程 $x^{2} + (a^{2} + 1) x + a - 2 = 0$ ，有一个根比1大，另一个根比－1小，则a的取值范围是（）

A、－3＜a＜1 B、-2＜a＜0 C、－1＜a＜0 D、0＜a＜2

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10. 已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边, 若 $a \sin A \sin B + b \cos^{2} A = \sqrt{2} a$ ,则 $\frac{b}{a} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1,$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且点 $P (a_{n}, a_{n + 1}) (n \in N^{*})$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上，则 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \dots + \frac{1}{S_{n}}$ =（）

A、 $\frac{n (n + 1)}{2}$ B、 $\frac{2}{n (n + 1)}$ C、 $\frac{2 n}{n + 1}$ D、 $\frac{n}{2 (n + 1)}$

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12. 已知△ABC的内角A，B，C满足 $\sin 2 A + \sin (A - B + C) = \sin (C - A - B) + \frac{1}{2}$ ，面积 $S$ 满足 $1 \leq S \leq 2$ ，记a、b、c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $b c (b + c) > 8$ B、 $a b (a + b) > 16 \sqrt{2}$ C、 $6 \leq a b c \leq 12$ D、 $12 \leq a b c \leq 24$

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二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分）

13. 函数 $f (x) = \lg (x^{2} - 4 x + 3)$ 的定义域为.

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14. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4}, a_{8}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 10 x + 4 = 0$ 两个实根，则 $a_{2} a_{6} a_{10} =$
.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} + 2 S_{n} \cdot S_{n - 1} = 0 (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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16. 锐角 $△ A B C$ 的三边 $a, b, c$ 和面积 $S$ 满足条件 $S = \frac{c^{2} - {(a - b)}^{2}}{4 k}$ ，则角 $C$ 既不是 $△ A B C$ 的最大角也不是 $△ A B C$ 的最小角，则实数 $k$ 的取值范围是 .

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三、解答题（本题共6个小题，共计70分）

17. 若不等式 $(a - 2) x^{2} + 2 (a - 2) x - 4 < 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，试确定实数 $a$ 的取值范围.

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18. 如图，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 $2 a \cos B + b = 2 c .$

(1)、求角A的大小；

(2)、若AC边上的中线BD的长为 $\sqrt{3}$ ，且AB⊥BD，求BC的长.

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19. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $b_{2} = 3$ ， $b_{3} = 9$ ， $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{14} = b_{4}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2} .$

(1)、若三角形的三边长分别为 $a_{3} 、 a_{5} 、 a_{7} ，$ 求此三角形的面积；

(2)、探究数列 ${a_{n}}$ 中是否存在相邻的三项，同时满足以下两个条件：
①此三项可作为三角形三边的长；

②此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍.

若存在，找出这样的三项；若不存在，说明理由.

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21. 某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：

工艺要求	产品甲	产品乙	生产能力/（台/天）
制白坯时间/天	6	12	120
油漆时间/天	8	4	64
单位利润/元	200	240

问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润，并且最大利润是多少？

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22. 在数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 6$ ，且对于任意正整数 $n$ 都有 $a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n}$ .

(1)、令 $b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、设 $m$ 是一个正数，无论 $m$ 为何值，是否都有一个正整数 $n$ 使 $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} - 3 | < m$ 成立.

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