2016-2017学年北京市海淀区高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-19 类型：期中考试

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一、选择题：

1. 复数1﹣ $\sqrt{3}$ i的虚部为（）

A、 $\sqrt{3}$ i B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、﹣ $\sqrt{3}$

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2. $\int_{0}^{1}$ xdx=（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、﹣ $\frac{1}{2}$

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3. 若复数z₁ ， z₂在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z₁=1+i，则z₁•z₂=（）

A、﹣2 B、2 C、﹣2i D、2i

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4. 若a，b，c均为正实数，则三个数a+ $\frac{1}{b}$ ，b+ $\frac{1}{c}$ ，c+ $\frac{1}{a}$ 这三个数中不小于2的数（）

A、可以不存在 B、至少有1个 C、至少有2个 D、至多有2个

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5. 定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）

A、只有三个极大值点，无极小值点 B、有两个极大值点，一个极小值点 C、有一个极大值点，两个极小值点 D、无极大值点，只有三个极小值点

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6. 函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax²﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）

A、1 B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或﹣ $\frac{1}{2}$

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7. 函数y=e^x（2x﹣1）的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：

①甲同学没有加入“楹联社”；
②乙同学没有加入“汉服社”；
③加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；
④加入“汉服社”的那名同学在高一年级；
⑤乙同学不在高三年级．
试问：丙同学所在的社团是（）

A、楹联社 B、书法社 C、汉服社 D、条件不足无法判断

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二、填空题：

9. 在复平面内，复数 $\frac{1 - i}{i}$ 对应的点的坐标为．

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10. 设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：
x
1
2
3
4
f（x）
2
3
4
1
f′（x）
3
4
2
1
g（x）
3
1
4
2
g′（x）
2
4
1
3
则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．

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11. 如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．

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12. 如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：

(1)、 $\frac{f (4) - f (2)}{2}$ $\frac{f (12) - f (8)}{4}$ ；

(2)、f′（6）f′（10）．

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13. 已知平面向量 $\vec{a}$ =（x₁ ， y₁）， $\vec{b}$ =（x₂ ， y₂），那么 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =x₁x₂+y₁y₂；空间向量 $\vec{a}$ =（x₁ ， y₁ ， z₁）， $\vec{b}$ =（x₂ ， y₂ ． z₂），那么 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂ ．由此推广到n维向量： $\vec{a}$ =（a₁ ， a₂ ， …，a_n）， $\vec{b}$ =（b₁ ， b₂ ， …，b_n），那么 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ = ．

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14. 函数f（x）=e^x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）

①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；
②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；
③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；
则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）

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三、解答题：

15. 已知函数f（x）=x³﹣3x²﹣9x+2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．

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16. 已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n₊₁+a_n= $\sqrt{n + 1}$ ﹣ $\sqrt{n - 1}$ ，n∈N^* ．

（Ⅰ）求a₂ ， a₃ ， a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

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17. 已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣ $\frac{a}{x}$ ，其中a∈R．
（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．

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18. 设f（x）=e^t^（^x^﹣¹^）﹣tlnx，（t＞0）
（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；
（Ⅱ）求证：f（x）≥0．

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x	1	2	3	4
f（x）	2	3	4	1
f′（x）	3	4	2	1
g（x）	3	1	4	2
g′（x）	2	4	1	3