山西省吕梁市2019届高三文数普通高等学校招生全国统一模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-05-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = lg x}, B = {x | y = \sqrt{4 - x^{2}}}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $[0, 2]$ B、 $[- 2, 0]$ C、 $(0, 2]$ D、 $[- 2, 0)$

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2. 若复数 $z = \frac{1 + a i}{1 + i} (a \in R)$ 的实部是2，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、1 C、 $2 i$ D、2

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3. 函数 $f (x) = | x | sin x$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的两倍，则 $C$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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5. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{5} = 10$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{6} =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $S$ 的值为（）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- 55$ D、55

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7. 张先生计划在2个不同的微信群中发放3个金额各不相等的红包，则每个群都收到红包的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 如图， $| \overset{⇀}{O A} | = 2 ， | \overset{⇀}{O B} | = \sqrt{2} ， | \overset{⇀}{O C} | = 4$ ， $\overset{⇀}{O A}$ 与 $\overset{⇀}{O B}$ 的夹角为 $135^{\circ}$ ，若 $\overset{⇀}{O C} = λ \overset{⇀}{O A} + 4 \overset{⇀}{O B}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} (a - 3) x + 3 a, x < 1 \\ {log}_{a} (x + 3), x \geq 1 \end{matrix}$ ，若 $\forall x \in R, f (x) > 2$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, \frac{5}{4}]$ B、 $(\frac{5}{4}, 3]$ C、 $(2, 3)$ D、 $[\frac{5}{4}, 2)$

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10. 孔明锁，也叫鲁班锁，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它是用6根木条制作的一件可拼可拆的、广泛流传于中国民间的智力玩具．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是其中3根木条的三视图，记这3根木条的体积分别为 $V_{1} ， V_{2} ， V_{3}$ ，则（）

A、 $V_{2} < V_{1} = V_{3}$ B、 $V_{3} < V_{1} < V_{2}$ C、 $V_{2} < V_{1} < V_{3}$ D、 $V_{3} < V_{2} < V_{1}$

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11. 记函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{| x - 1 |} + cos π x$ 在区间 $(- 2 ， 4)$ 上的零点分别为 $x = x_{i} (i = 1 ， 2 ， ... ， n)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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二、填空题

12. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y \leq 4 \\ y \leq x + 1 \\ x - 4 y \leq 2 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值是．

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13. 如图，最大的三角形是边长为2的等边三角形，将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角形，依此类推，一共得到10个三角形，则这10个三角形的面积的和为．

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14. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $Δ A B P$ 是等边三角形，底面 $A B C D$ 是矩形，平面 $A B P ⊥$ 平面 $A B C D$ ，若 $A B = 2 \sqrt{3} ， B C = 2$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积是．

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三、解答题

15. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $Δ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $b = 2 ，$ $s i n (A - B) = sin C - sin B$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 是 $A C$ 边的中点， $B D = \sqrt{7}$ ，求 $a$ ．

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16. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 是等边三角形， $D$ 为 $B C$ 边的中点， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $O$ 在线段 $A D$ 上．

(1)、证明： $∠ P A B = ∠ P A C$ ；

(2)、若 $A B = P B = 2$ ，直线 $P B$ 和平面 $A B C$ 所成的角的正弦值为 $\frac{3}{4}$ ，求点 $C$ 到平面 $P A B$ 的距离．

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17. 某高科技公司投入1000万元研发某种产品，大规模投产后，在产品出库进入市场前，需做严格的质量检验．为此，从库房的产品中随机抽取200件，检测一项关键的质量指标值（记为 $X$ ），由检测结果得到如下样本频率分布直方图：

(1)、求这200件产品质量指标值的样本平均数 $\bar{X}$ ，样本方差 $s^{2}$ （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

(2)、该公司规定：当 $X > 170$ 时，产品为正品；当 $X \leq 170$ 时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利80元；若是次品，则亏损20元．
①估计这200件产品中正品、次品各有多少件；

②求公司生产一件这种产品的平均利润．

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18. 已知抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ 被 $Γ$ 截得的弦长为16．

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、点 $M$ 是 $Γ$ 上一点，若以 $F M$ 为直径的圆过点 $N (0, 4)$ ，求该圆的方程．

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19. 已知函数 $f (x) = (x - 2) ln x + a x - 1$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴相切；

(2)、当 $a < 1$ 时，证明 $f (x)$ 存在两个零点．

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + t c o s α \\ y = \sqrt{3} + t s i n α \end{matrix} (t$ 为参数， $0 \leq α < π)$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{3} s i n θ$ ．

(1)、写出当 $α = \frac{π}{4}$ 时， $C_{1}$ 的普通方程及 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于 $A, B$ 两点，若 $| A B | = 3$ ，求 $α$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | 2 x - 1 |, g (x) = a - | x + 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < 5$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) < g (x)$ 有解，求 $a$ 的取值范围．

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