辽宁省凌源市2019届高三文数第一次联合模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-05-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $(1 - i) (3 + i)$ 的虚部是（）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、 $- 2$

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2. 若集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 2} ， B = {x | {log}_{3} x \leq 1}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 0 < x \leq 2}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | x \leq - 1$ 或 $x > 2}$

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3. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $| \overset{⇀}{a} | = 1 ， | \overset{⇀}{b} | = 2$ ，则 $| 3 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{17}$ C、 $\sqrt{19}$ D、 $\sqrt{21}$

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4. 设直线 $y = x - \sqrt{2}$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则圆 $O$ 的面积为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $4 π$ D、 $8 π$

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5. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{10} = 16$ ， $a_{8} = 11$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、30 B、35 C、42 D、56

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6. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2}) ， tan (α + \frac{π}{4}) = - 3$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 $x$ 的值为4，第二次输入的 $x$ 的值为5，记第一次输出的 $a$ 的值为 $a_{1}$ ，第二次输出的 $a$ 的值为 $a_{2}$ ，则 $a_{1} - a_{2} =$ （）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、2

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8. 设 $a = {(\frac{5}{7})}^{\frac{3}{7}} ， b = {(\frac{3}{7})}^{\frac{5}{7}} ， c = {(\frac{3}{7})}^{\frac{3}{7}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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9. 已知 $α, β$ 是不重合的平面， $m, n$ 是不重合的直线，则 $m ⊥ α$ 的一个充分条件是（）

A、 $m ⊥ n$ ， $n \subset α$ B、 $m / / β$ ， $α ⊥ β$ C、 $n ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ β$ D、 $α \cap^{} β = n$ ， $α ⊥ β$ ， $m ⊥ n$

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10. 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母 $π$ 表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计 $π$ 的值：从区间 $[- 1 ， 1]$ 内随机抽取200个数，构成100个数对 $(x ， y)$ ，其中满足不等式 $y > \sqrt{1 - x^{2}}$ 的数对 $(x ， y)$ 共有11个，则用随机模拟的方法得到的 $π$ 的近似值为（）

A、 $\frac{78}{25}$ B、 $\frac{72}{25}$ C、 $\frac{25}{7}$ D、 $\frac{22}{7}$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F (- \sqrt{5} ， 0)$ ，点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 2)$ ，点 $P$ 为双曲线右支上的动点，且 $Δ A P F$ 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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12. 若函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq \frac{e}{2}$ B、 $a > e$ C、 $a \leq e$ D、 $a > \frac{e}{2}$

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二、填空题

13. 已知 $x ， y$ 满足约束条件： ${\begin{matrix} x + 2 y - 1 \leq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ x \geq - 1 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值是．

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14. 甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是．

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15. 等比数列{a_n}中各项均为正数，S_n是其前n项和，且满足2S₃=8a₁+3a₂ ， a₄=16，则S₄= ．

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16. 四面体 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 底面 $B C D$ ， $A B = B D = \sqrt{2}$ ， $C B = C D = 1$ ，则四面体 $A - B C D$ 的外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 设函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 {cos}^{2} x$ ．
(Ⅰ)当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(Ⅱ) $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $f (A) = \frac{3}{2}, a = \sqrt{6}, b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间(单位：小时)与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：

每周累计户外暴露时间(单位：小时)	$[0, 7)$	$\begin{matrix} [7, 14) \end{matrix}$	$[14, 21)$	$[21, 28)$	不少于28小时
近视人数	21	39	37	2	1
不近视人数	3	37	52	5	3

(Ⅰ)在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；

(Ⅱ)若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据(Ⅱ)中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？

	近视	不近视
足够的户外暴露时间
不足够的户外暴露时间

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $P$ 在平面 $A B C D$ 上的射影为 $G$ ，且 $G$ 在 $A D$ 上，且 $A G = \frac{1}{3} G D ， B G ⊥ G C$ ， $G B = G C = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，四面体 $P - B C G$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ ．

(Ⅰ)求异面直线 $G E$ 与 $P C$ 所成的角余弦值；

(Ⅱ)求点 $D$ 到平面 $P B G$ 的距离；

(Ⅲ)若 $F$ 点是棱 $P C$ 上一点，且 $D F ⊥ G C$ ，求 $\frac{P F}{F C}$ 的值．

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20. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E : \frac{x 2}{a 2} + \frac{y 2}{b 2} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点，点 $P (- 1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆 $E$ 上，且抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点是椭圆 $E$ 的一个焦点．
(Ⅰ)求椭圆 $E$ 的标准方程；

(Ⅱ)过点 $F_{2}$ 作不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ ，设 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 相交于 $A, B$ 两点，且与椭圆 $E$ 相交于 $C, D$ 两点，当 $\overset{⇀}{F_{1} A} \cdot \overset{⇀}{F_{1} B} = 1$ 时，求 $Δ F_{1} C D$ 的面积．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ( $e$ 为自然对数的底数)， $g (x) = a x (a \in R)$ ．
(Ⅰ)当 $a = e$ 时，求函数 $t (x) = f (x) - g (x)$ 的极小值；

(Ⅱ)若当 $x \geq 1$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x) + ln x - e = g (x) - a$ 有且只有一个实数解，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + \sqrt{3} c o s α \\ y = \sqrt{3} s i n α \end{matrix}$ ( $α$ 为参数)，直线 $l$ 的方程为 $y = k x$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(Ⅰ)求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(Ⅱ)曲线 $C$ 与直线 $l$ 交于 $A, B$ 两点，若 $| O A | + | O B | = 2 \sqrt{3}$ ，求 $k$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 4 a | + | x |, a \in R$ ．
(Ⅰ)若不等式 $f (x) \geq a^{2}$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(Ⅱ)设实数 $m$ 为(Ⅰ)中 $a$ 的最大值，若实数 $x, y, z$ 满足 $4 x + 2 y + z = m$ ，求 ${(x + y)}^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的最小值．

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