江西省萍乡市2019届高三理数一模考试试卷

试卷更新日期：2019-05-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = a + \frac{10 i}{3 - i} (a \in R)$ ，若 $z$ 为纯虚数，则 $| a - 2 i | =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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2. 下列说法错误的是（）

A、在回归模型中，预报变量 $y$ 的值不能由解释变量 $x$ 唯一确定 B、若变量 $x$ ， $y$ 满足关系 $y = - 0.1 x + 1$ ，且变量 $y$ 与 $z$ 正相关，则 $x$ 与 $z$ 也正相关 C、在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 0.3 x + 4$ ，则 $c = e^{4}$ ， $k = 0.3$

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3. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} + 1}{x (1 - e^{x})}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入 $a = 4$ ， $b = 1$ ，则输出的 $n$ 等于（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 已知动圆 $C$ 经过点 $A (2, 0)$ ，且截 $y$ 轴所得的弦长为4，则圆心 $C$ 的轨迹是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{2^{n}} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2019} =$ （）

A、 $1 - \frac{1}{2^{2018}}$ B、 $1 - \frac{1}{2^{2019}}$ C、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2^{2018}}$ D、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2^{2019}}$

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7. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）

A、24 B、48 C、96 D、120

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8. 下列选项中为函数 $f (x) = cos (2 x - \frac{π}{6}) sin 2 x - \frac{1}{4}$ 的一个对称中心为（）

A、 $(\frac{7 π}{24} ， 0)$ B、 $(\frac{π}{3} ， 0)$ C、 $(\frac{π}{3} ， - \frac{1}{4})$ D、 $(\frac{π}{12} ， 0)$

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9. 已知 $D = {(x ， y) | {\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - y + 2 \leq 0 \\ 3 x - y + 6 \geq 0 \end{matrix}}$ ，给出下列四个命题：
$P_{1}$ ： $\forall (x ， y) \in D$ ， $- 2 \leq x + y \leq 2$ ； $P_{2}$ ： $\forall (x ， y) \in D$ ， $\frac{y}{x + 3} > 0$ ；

$P_{3}$ ： $\exists (x ， y) \in D$ ， $x + y < - 2$ ； $P_{4}$ ： $\exists (x ， y) \in D$ ， $x^{2} + y^{2} \leq 2$ ；其中真命题是（）

A、 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ B、 $P_{1}$ 和 $P_{4}$ C、 $P_{2}$ 和 $P_{3}$ D、 $P_{2}$ 和 $P_{4}$

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10. 如图所示，在棱长为 $6$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E ， F$ 分别是棱 $C_{1} D_{1} ， B_{1} C_{1}$ 的中点，过 $A ， E ， F$ 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（）

A、 $18 + 3 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{13} + 3 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{5} + 9 \sqrt{2}$ D、 $10 + 3 \sqrt{2} + 4 \sqrt{10}$

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11. 如图，已知 $| \overset{⇀}{O A} | = | \overset{⇀}{O B} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{O C} | = \sqrt{2}$ ， $tan ∠ A O B = - \frac{4}{3}$ ， $∠ B O C = 45 °$ ， $\overset{⇀}{O C} = m \overset{⇀}{O A} + n \overset{⇀}{O B}$ ，则 $\frac{m}{n}$ 等于（）

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{7}{3}$

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12. 箱子里有16张扑克牌：红桃 $A$ 、 $Q$ 、4，黑桃 $J$ 、8、7、4、3、2，草花 $K$ 、 $Q$ 、6、5、4，方块 $A$ 、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是（）

A、草花5 B、红桃 $Q$ C、红桃4 D、方块5

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二、填空题

13. 一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为．

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14. 设双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $l$ 为双曲线 $C$ 的一条渐近线，点 $F$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $P$ ，若点 $P$ 在双曲线 $C$ 的左支上，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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15. 对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，5²的“分裂”中最大的数是，若m³的“分裂”中最小的数是211，则m的值为．

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16. 设 $a$ 为整数，若对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，不等式 $\frac{e^{x} + 3}{x} \geq e^{a}$ 恒成立，则 $a$ 的最大值是．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acosB+bcosA=2ccosC．

(1)、求角C的大小；

(2)、若△ABC的周长为3，求△ABC的内切圆面积S的最大值．

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为2的菱形，且 $∠ A B C = 60 °$ ， $B M ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B M / / D N$ ， $B M = 2 D N$ ，点 $E$ 是线段 $M N$ 上任意一点.

(1)、证明：平面 $E A C ⊥$ 平面 $B M N D$ ；

(2)、若 $∠ A E C$ 的最大值是 $\frac{2 π}{3}$ ，求三棱锥 $M - N A C$ 的体积.

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19. 在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手（1号至6号）登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位侯选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名．

(1)、求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率；

(2)、设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求X的分布列和数学期望．

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20. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，D（0，2）为椭圆C短轴的一个端点，F为椭圆C的右焦点，线段DF的延长线与椭圆C相交于点E，且|DF|=3|EF|．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为- $\frac{3}{2}$ ，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = ln x - k x$ ，其中 $k \in R$ 为常数.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个相异零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求证： $ln x_{2} > 2 - ln x_{1}$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + c o s α \\ y = s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数）.以 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{3} sin θ$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设动直线 $l$ ： $y = k x (x \neq 0, k \neq 0)$ 分别与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 相交于点 $A$ ， $B$ ，求当 $k$ 为何值时， $| A B |$ 取最大值，并求 $| A B |$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 5 |$ .

(1)、解不等式： $f (x) + f (x + 2) \leq 3$ ；

(2)、若 $a < 0$ ，求证： $f (a x) - f (5 a) \geq a f (x)$ .

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