湖南省永州市2019届高三文数第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-05-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 2}, B = {0, 1, 2}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${- 1, 2}$ D、 ${0, 1}$

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2. 一支由学生组成的校乐团有男同学 $48$ 人，女同学 $36$ 人，若用分层抽样的方法从该乐团的全体同学中抽取 $21$ 人参加某项活动，则抽取到的男同学人数为（）

A、 $10$ B、 $11$ C、 $12$ D、 $13$

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3. 设 $i$ 为虚部单位，复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (3, m),$ 若 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，则实数 $m$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 2$ D、 $2$

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5. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线经过点 $(3, - \sqrt{7})$ ，则此双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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6. 正方体被切去一个角后得到的几何体如图所示，其侧视图（由左往右看）是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $f (x)$ 满足对 $\forall x \in R, f (x + 2) = f (x)$ ，且 $x \in [1, 3)$ 时， $f (x) = {log}_{2} x + 1$ 则 $f (2019)$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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8. 已知圆锥的体积为 $9 π$ ，母线与底面所成的角为 $45^{°}$ ，则该圆锥的母线长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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9. 将函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 图像上各点的横坐标伸长为原来的 $2$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，所得函数的一个对称中心可以是（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(\frac{π}{6} ， 0)$ C、 $(\frac{π}{3} ， 0)$ D、 $(\frac{π}{2} ， 0)$

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10. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n + 1} = S_{n} + a_{n} + 1, a_{2} + a_{6} = 10$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、 $20$ B、 $25$ C、 $30$ D、 $35$

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11. 如图，在边长为 $2$ 的正六边形 $A B C D E F$ 内任取一点 $P$ ，则点 $P$ 到正六边形六个顶点的距离都大于 $1$ 的概率为（）

A、 $1 - \frac{\sqrt{3} π}{9}$ B、 $1 - \frac{\sqrt{3} π}{18}$ C、 $1 - \frac{\sqrt{3} π}{27}$ D、 $1 - \frac{\sqrt{3} π}{12}$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 x (x \in R)$ ，则不等式 $f (1 + x) + f (1 - x^{2}) \geq 0$ 的解集是（）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $[- 2, 1]$ C、 $(- \infty, - 1] \cup^{} [2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup^{} [1, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = - 2^{x}, x \in [1, 2]$ ，则 $f (x)$ 的最小值为．

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14. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x + y \leq 2 \\ x - y \geq 1 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $x + y$ 的取值范围为．

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15. 从圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 外一点 $P (3 ， 2)$ 向这个圆作两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，则 $cos ∠ A P B =$ ．

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16. 已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点， $A ， B ， D$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右顶点和上顶点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $P F ⊥ x$ 轴，过 $A ， D$ 点的直线 $l$ 与直线 $P F$ 交于 $M$ ，若直 $B M$ 线与线段 $O D$ 交于点 $N$ ，且 $O N = 2 N D$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $sin B + \sqrt{3} cos B = 0 ， a = 1 ， c = 2$ .

(1)、求 $b$ ；

(2)、如图， $D$ 为 $A C$ 边上一点，且 $B D ⊥ B C$ ，求 $△ A B D$ 的面积..

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18. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， ∠ B C D = 60^{°}$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ .以 $B D$ 为折痕，将 $△ A B D$ 折起，使点 $A$ 到达点 $A_{1}$ 的位置.

(1)、若 $A_{1} C = \sqrt{6}$ ，求证：平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A_{1} C = 2 \sqrt{2}$ ，求三棱锥 $A_{1} - B C D$ 的体积.

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19. 某花卉种植研究基地对一种植物 $A$ 在室内进行分批培植实验，以便推广种植.现按 $4$ 种温度分批进行试验（除温度外，其它生长环境相同，且温度控制在 $5^{°}$ 以上），且每批种植总株数均为 $50$ .试验后得到右表的统计图：
参考数据： $\bar{y} = 8.25 ， \sum_{i = 1}^{4} x_{i} y_{i} = 438 ， \sum_{i = 1}^{4} x_{i}^{2} = 660.$

附回归直线方程中斜率与截距的最小二乘估计分别是： $\vec{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} • \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \vec{a} = \bar{y} - \vec{b} \bar{x} .$

温度 $x (° C)$

16

14

12

8

死亡株树y

11

9

8

5

(1)、请在答题卡上所给的坐标系中画出 $y$ 关于 $x$ 的散点图，并估计环境温度在 $8^{°}$ 时，推广种植植物 $A$ 死亡的概率；

(2)、请根据散点图，判断 $\vec{y} = \vec{b} x + \vec{a}$ 与 $\vec{y} = c_{1} {log}_{0.5} (x + c_{2}) (c_{1} > 0 ， c_{2} > 0)$ 哪个回归模型适合作为 $y$ 与 $x$ 回归方程类型（不需说明理由），并根据你的选择求出回归方程（结果精确到 $0.001$ ）

(3)、若植物 $A$ 投入推广种植中，要求每 $50$ 株中死亡的株数不超过 $14$ 株，那么种植最高温度应控制为多少（结果保留整数）

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20. 已知直线 $l$ 是经过点 $A (1 ， - 2)$ 且与抛物线 $E ： y^{2} = 4 x$ 相切的直线.

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、如图，已知点 $B (1 ， 2) ， M ， N$ 是 $x$ 轴上两个不同的动点，且满足 $| B M | = | B N |$ ，直线 $B M ， B N$ 与抛物线 $E$ 的另一个交点分别是 $P ， Q$ ，求证：直线 $P Q$ 与 $l$ 平行.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 a ln x - x^{2} .$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， e^{2})$ 上的零点个数.

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22. 修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + t c o s α \\ y = 1 + t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数 $, α \in [0, π)$ ），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = - 4 cos θ$ .

(1)、写出当 $α = \frac{3 π}{4}$ 时的直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (- 1, 1)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于不同的两点 $A, B$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的取值范围.

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - b |$ .

(1)、当 $a = 1, b = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集；

(2)、若 $a > 0, b > 0$ ， $f (x)$ 的最小值为 $2$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值.

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温度 $x (° C)$	16	14	12	8
死亡株树y	11	9	8	5