河北省唐山市2019届高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-05-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2^{x} > \frac{1}{2}}$ ，则 $C_{R} A =$ （）

A、 ${x | x > 1}$ B、 ${x | 0 < x \leq - 1}$ C、 ${x | x > - 1}$ D、 ${x | x \leq - 1}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $i$ D、 $- i$

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = 6$ ， $a_{3} + a_{5} = a_{10}$ ，则 $a_{12} =$ （）

A、10 B、12 C、14 D、16

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4. 已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边上一点 $A (2 sin α, 3)$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为4， $A (2, 3)$ 为 $C$ 上一点，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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6. 已知直线 $l$ ， $m$ 和平面 $α$ ， $β$ ，有如下三个命题：
①若存在平面 $γ$ ，使 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ ；②若 $l$ ， $m$ 是两条异面直线， $l \subset α$ ， $m \subset β$ ， $l / / β$ ， $m / / α$ ，则 $α / / β$ ；③若 $l ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $l / / m$ ，则 $α / / β$ .其中正确命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 已知函数 $f (x) = sin (2 ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，把 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）

A、 $x = 0$ B、 $x = \frac{π}{12}$ C、 $x = \frac{π}{8}$ D、 $x = \frac{π}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 x ， x \leq 0 \\ - x^{2} + a x ， x > 0 \end{matrix}$ 为奇函数，则 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线斜率等于（）

A、6 B、-2 C、-6 D、-8

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9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $14 π$ C、 $10 π$ D、 $8 π$

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10. 割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现.如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法.在 $Δ A B C$ 内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，以 $P F$ 为半径的圆 $P$ 与 $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $\overset{⇀}{O B} = 7 \overset{⇀}{O A}$ ，则圆 $P$ 的半径 $r =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 已知 $a = {log}_{3} 2$ ， $b = {log}_{4} 3$ ， $c = {log}_{0.2} 0.3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 3$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ，且 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ ，则 $\overset{⇀}{a} \cdot (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}) =$ ．

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14. 设变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ y \geq 1 \\ x + 2 y - 5 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = \frac{y}{x + 2}$ 的最大值为．

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15. 将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有种．（用数字作答）

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16. 各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} \cdot a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{5} \cdot a_{2019} =$ ．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 c = \sqrt{3} a + 2 b cos A$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $c = 7$ ， $b sin A = \sqrt{3}$ ，求 $b$ .

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18. 如图，在边长为8的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，将 $Δ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使点 $A$ 到达 $A_{1}$ 的位置，且二面角 $A_{1} - B D - C$ 为 $60 °$ .

(1)、求异面直线 $A_{1} C$ 与 $B D$ 所成角的大小；

(2)、若点 $E$ 为 $A_{1} C$ 中点，求直线 $B E$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成角的正弦值.

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19. 苹果可按果径 $M$ （最大横切面直径，单位： $m m$ .）分为五个等级： $M \geq 80$ 时为1级， $75 \leq M < 80$ 时为2级， $70 \leq M < 75$ 时为3级， $65 \leq M < 70$ 时为4级， $M < 65$ 时为5级.不同果径的苹果，按照不同外观指标又分为特级果、一级果、二级果.某果园采摘苹果10000个，果径 $M$ 均在 $[60 ， 85]$ 内，从中随机抽取2000个苹果进行统计分析，得到如图1所示的频率分布直方图，图2为抽取的样本中果径在80以上的苹果的等级分布统计图.

附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则

$P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $\sqrt{35.4} \approx 5.95$ .

(1)、假设 $M$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 的近似值为果径的样本平均数 $\bar{x}$ （同一组数据用该区间的中点值代替）， $σ^{2} = 35.4$ ，试估计采摘的10000个苹果中，果径 $M$ 位于区间 $(59.85 ， 77.7)$ 的苹果个数；

(2)、已知该果园今年共收获果径在80以上的苹果 $800 k g$ ，且售价为特级果12元 $/ k g$ ，一级果10元 $/ k g$ ，二级果9元 $/ k g$ .设该果园售出这 $800 k g$ 苹果的收入为 $X$ ，以频率估计概率，求 $X$ 的数学期望.

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20. 已知 $| M N | = 1$ ， $\overset{⇀}{M P} = 3 \overset{⇀}{M N}$ ，当 $N$ ， $M$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上滑动时，点 $P$ 的轨迹记为 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、设斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $M N$ 与 $E$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $| P N | = | M Q |$ ，求 $k$ .

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21. 已知 $f (x) = 4 e^{x} - e^{- 2 x} - a x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，证明：（i） $x_{1} + x_{2} > 0$ ；（ii） $f (x_{1}) + f (x_{2}) < 6$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C_{1}$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ .以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、设 $A$ ， $B$ 分别为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的点，若 $Δ O A B$ 为等边三角形，求 $| A B |$ .

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23. 已知 $f (x) = | a x + 1 | + | a x - 1 | - 2 a - 4$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a > 0$ ， $y = f (x)$ 的图像与 $x$ 轴围成的封闭图形面积为 $S$ ，求 $S$ 的最小值.

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