东北三省四市2019届高三理数第一次考试试卷

试卷更新日期：2019-05-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {x | (x + 1) (x - 2) < 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${0, 1,}$

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2. 在复平面内，表示复数 $z = \frac{1}{1 - i}$ 的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列各点中，可以作为函数 $y = sin x - \sqrt{3} cos x + 1$ 图象的对称中心的是（）

A、 $(\frac{π}{3} ， 1)$ B、 $(\frac{π}{6} ， 1)$ C、 $(\frac{π}{3} ， 0)$ D、 $(\frac{π}{6} ， 0)$

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4. 执行如图所示的程序框图，如果输入 $N = 4$ ，则输出p为（）

A、6 B、24 C、120 D、720

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 4, a_{4} = 2$ ，则 $S_{5}$ ＝（）

A、0 B、10 C、15 D、30

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6. 已知 $m, n$ 为两条不重合直线， $α, β$ 为两个不重合平面，下列条件中， $α / / β$ 的充分条件是（）

A、 $m / / n, m \subset α, n \subset β$ B、 $m / / n, m ⊥ α, n ⊥ β$ C、 $m ⊥ n, m / / α, n / / β$ D、 $m ⊥ n, m ⊥ α, n ⊥ β$

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7. “科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量。 $2007 - 2018$ 年，某企业连续 $12$ 年累计研发投入搭 $4100$ 亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这 $12$ 年间的研发投入（单位：十亿元）用右图中的折现图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的使（）

A、 $2012$ 年至 $2013$ 年研发投入占营收比增量相比 $2017$ 年至 $2018$ 年增量大 B、 $2013$ 年至 $2014$ 年研发投入增量相比 $2015$ 年至 $2016$ 年增量小 C、该企业连续 $12$ 年研发投入逐年增加 D、该企业来连续 $12$ 年来研发投入占营收比逐年增加

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8. 已知 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ 是两个单位向量，且夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 ${\vec{e}}_{1} + t {\vec{e}}_{2}$ 与 $t {\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}$ 数量积的最小值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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9. 我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵。斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：
①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为 $2 \sqrt{6}$ ；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为 $24 π$ .其中正确的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 函数 $f (x) = \frac{x (e^{- x} - e^{x})}{4 x^{2} - 1}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且倾斜角为 $120^{°}$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $A F, B F$ 的中点在 $y$ 轴上的射影分别为 $M, N$ ，且 $| M, N | = 4 \sqrt{3}$ ，则抛物线 $C$ 的准线方程为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = - 2$ C、 $x = - \frac{3}{2}$ D、 $x = - 3$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 1 + l n x ， x \geq 1 \\ \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} ， x < 1 \end{matrix}$ ，若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 2$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $[e - 1 ， + \infty)$ C、 $[3 - 2 ln 2 ， + \infty]$ D、 $[3 - 2 ln 3 ， + \infty]$

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二、填空题

13. 已知 $a > 0, b > 0$ ，若 $a, 2, b$ 依次成等比数列，则 $a + 4 b$ 的最小值为．

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14. 已知矩形 $A B C D ， A B = 12 ， B C = 5$ ，以 $A ， B$ 为焦点，且过 $C ， D$ 两点的双曲线的离心率为．

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15. 若8件产品中包含 $6$ 件一等品，在其中任取 $2$ 件，则在已知取出的 $2$ 件中有 $1$ 件不是一等品的条件下，另 $1$ 件是一等品的概率为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{n a_{n}}{n + 1 + 2 a_{n}} (n \in N^{*})$ 则 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}} =$ ．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中 $A B = 6, A C = 4 \sqrt{2} .$
$(Ι)$ 若 $sin B = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

$(Ι Ι)$ 若 $\overset{⇀}{B D} = 2 \overset{⇀}{D C}, A D = 3 \sqrt{2}$ ，求 $B C$ 的长.

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18. 某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人 $200$ 人，乙车间有工人 $400$ 人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位： $min$ ）进行统计，按照 $[55 ， 65) ， [65 ， 75) ， [75 ， 85) ， [85 ， 95)$ 进行分组，得到下列统计图.

$(Ι)$ 分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于 $75 min$ 的人数

$(Ι Ι)$ 分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测车哪个车间工人的生产效率更高？

$(Ι Ι Ι)$ 从第一组生产时间少于 $75 min$ 的工人中随机抽取 $3$ 人，记抽取的生产时间少于 $65 min$ 的工人人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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19. 如图，等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D ， A D = A B = B C = 1$ ， $C D = 2$ ， $E$ 为 $C D$ 中点，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折到 $△ A P E$ 的位置.

$(Ι)$ 证明： $A E ⊥ P B$ ；

$(Ι Ι)$ 当四棱锥 $P - A B C E$ 的体积最大是，求二面角 $A - P E - C$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的短轴端点为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，点 $M$ 是椭圆 $C$ 上的动点，且不与 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 重合，点 $N$ 满足 $N B_{1} ⊥ M B_{1}$ ， $N B_{2} ⊥ M B_{2}$ .

（Ⅰ）求动点 $N$ 的轨迹方程；

（Ⅱ）求四边形 $M B_{2} N B_{1}$ 面积的最大值.

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21. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{2}{x} + a ln x ， x \in (0 ， 6) .$
$(Ι)$ 讨论 $f (x)$ 的单调性；

$(Ι Ι)$ 若 $x - 2$ 是 $f (x)$ 的极值点，且曲线 $y = f (x)$ 在两点 $P (x_{1} ， f (x_{1})) ， Q (x_{2} ， f (x_{2}))$ $(x_{1} < x_{2})$ 处的切线相互平行，这两条切线在 $y$ 轴上的截距分别为 $b_{1} ， b_{2}$ ，求 $b_{1} - b_{2}$ 的取值范围

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 的倾斜角为 $30 °$ ，且经过点 $A (2, 1)$ ．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l_{2} : ρ cos θ = 3$ ，从原点O作射线交 $l_{2}$ 于点M，点N为射线OM上的点，满足 $| O M | \cdot | O N | = 12$ ，记点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求出直线 $l_{1}$ 的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线 $l_{1}$ 与曲线C交于P，Q两点，求 $| A P | \cdot | A Q |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x - 1 |$
$(Ι)$ 求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集；

$(Ι Ι)$ 设函数 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，当 $a, b, c \in R^{*}$ ，且 $a + b + c = m$ 时，求 $\sqrt{2 a + 1} + \sqrt{2 b + 1} + \sqrt{2 c + 1}$ 的最大值.

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