安徽省宣城市2019届高三理数第二次调研测试试卷

试卷更新日期：2019-05-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = 3 + i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、1 B、 $1 - i$ C、2 D、 $1 + i$

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2. 已知集合 $A = {x | 3 x - a \geq 0}$ ， $B = {x | {log}_{2} (x - 2) \leq 1}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 6)$ B、 $(- \infty, 6]$ C、 $(- \infty, 12)$ D、 $(12, + \infty)$

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3. 如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{7}{10}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{9}{10}$

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4. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得（）白米

A、96石 B、78石 C、60石 D、42石

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5. 已知 $P (m, 2)$ 为角 $α$ 终边上一点，且 $tan (α + \frac{π}{4}) = 3$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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6. 在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $P$ 在 $Δ A B C$ 斜边 $B C$ 的中线 $A D$ 上，则 $\overset{⇀}{A P} \cdot (\overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C})$ 的最大值为（）

A、 $\frac{25}{8}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{25}{4}$ D、 $\frac{25}{2}$

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7. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 都是常数， $a > b$ ， $c > d$ ．若 $f (x) = 2019 + (x - a) (x - b)$ 的零点为 $c$ ， $d$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a > c > d > b$ B、 $a > d > c > b$ C、 $c > d > a > b$ D、 $c > a > b > d$

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8. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A A_{1}$ 、 $B B_{1}$ 的中点， $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的一点，且 $A_{1} M = λ (0 < λ < 2)$ ，设点 $N$ 为 $M E$ 的中点，则点 $N$ 到平面 $D_{1} E F$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3} λ$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3} λ$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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9. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{9} = a_{8} + 2 a_{7}$ ，若存在两项 $a_{m}$ ， $a_{n}$ ，使得 $a_{m} a_{n} = 2 a_{1}^{2}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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10. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $P$ 是双曲线在第一象限上的点，直线 $P O$ 交双曲线 $C$ 左支于点 $M$ ，直线 $P F_{2}$ 交双曲线 $C$ 右支于点 $N$ ，若 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，且 $∠ M F_{2} N = 60 °$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm 2 \sqrt{2} x$

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11. 如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{16}{3}$ B、 $\frac{32}{3}$ C、 $\frac{64}{3}$ D、 $\frac{128}{3}$

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12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 是椭圆上位于第二象限内的点，延长 $P F_{1}$ 交椭圆于点 $Q$ ，若 $P F_{2} ⊥ P Q$ ，且 $| P F_{2} | = | P Q |$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\sqrt{6} - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ D、 $2 - \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 \\ y - x \leq 1 \\ x \leq 1 \end{matrix}$ ，则 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}$ 的最小值为.

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14. 大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的10个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．

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15. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，定义 ${a_{n}}$ 的“优值”为 $H_{n} = \frac{a_{1} + 2 a_{2} + ... + 2^{n - 1} a_{n}}{n}$ ，现已知 ${a_{n}}$ 的“优值” $H_{n} = 2^{n}$ ，则 $S_{n} =$ .

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16. 关于 $x$ 的方程 $k x - \frac{ln x}{x} = 2$ 在区间 $[\frac{1}{e}, e]$ 上有两个实根，则实数 $k$ 的最小值是.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} a = 2 c sin A$ 且 $c < b$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $b = 8$ ，延长 $A B$ 至 $D$ ，使 $B C = B D$ ，且 $A D = 10$ ，求 $Δ A C D$ 的面积．

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18. 如图，已知四棱锥 $E - A B C D$ 的底面为菱形，且 $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = E C = 2$ ， $A E = B E = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证：平面 $E A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、求二面角 $A - E C - D$ 的余弦值．

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19. 某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有Ⅳ人参加，现将所有参加者按年龄情况分为 $[20 ， 25)$ ， $[25 ， 30)$ ， $[30 ， 35)$ ， $[35 ， 40)$ ， $[40 ， 45)$ ， $[45 ， 50)$ ， $[50 ， 55)$ 等七组，其频率分布直方图如图所示，已知 $[25 ， 30)$ 这组的参加者是6人．

(1)、根据此频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工年龄的中位数；

(2)、已知 $[35 ， 40)$ 和 $[40 ， 45)$ 这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率；

(3)、组织者从 $[45 ， 55)$ 这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和均值．

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20. 已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ， $A$ 是椭圆上的一点，且 $A$ 在第一象限内，过 $A$ 且斜率等于-1的直线与椭圆 $C$ 交于另一点 $B$ ，点 $A$ 关于原点的对称点为 $D$ ．

(1)、证明：直线 $B D$ 的斜率为定值；

(2)、求 $Δ A B D$ 面积的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = (a x + 1) e^{x}$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明 $f (x) + \frac{1}{e^{2}} \geq 0$ ；

(2)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，对于两个不相等的实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 有 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求证： $x_{1} + x_{2} < 2$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 8 \sqrt{2} sin (θ + \frac{π}{4})$ .

(1)、将曲线 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、过点 $P (1 ， 0)$ 作倾斜角为 $45 °$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，试求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象关于原点对称，且 $f (x) = 2 x + 1$ ．

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $g (x) \geq | x - 1 |$ ；

(2)、如果对 $\forall x \in R$ ，不等式 $| g (x) | - c \geq | x - 1 |$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围．

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