2013年江苏省南京市中考数学试卷

试卷更新日期：2017-05-18 类型：中考真卷

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一、选择题

1. 计算：12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）的结果是（）

A、﹣24 B、﹣20 C、6 D、36

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2. 计算a³•（ $\frac{1}{a}$ ）²的结果是（）

A、a B、a³ C、a⁶ D、a⁹

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3. 设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：
①a是无理数；
②a可以用数轴上的一个点来表示；
③3＜a＜4；
④a是18的算术平方根．
其中，所有正确说法的序号是（）

A、①④ B、②③ C、①②④ D、①③④

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4. 如图，⊙O₁ ， ⊙O₂的圆心在直线l上，⊙O₁的半径为2cm，⊙O₂的半径为3cm．O₁O₂=8cm，⊙O₁以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O₁和⊙O₂没有出现的位置关系是（）

A、外切 B、相交 C、内切 D、内含

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5. 在同一直角坐标系中，若正比例函数y=k₁x的图象与反比例函数y= $\frac{k_{2}}{x}$ 的图象没有公共点，则（）

A、k₁+k₂＜0 B、k₁+k₂＞0 C、k₁k₂＜0 D、k₁k₂＞0

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6. 如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

7. ﹣3的相反数是；﹣3的倒数是．

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8. 计算： $\frac{3}{\sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}$ 的结果是．

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9. 使式子1+ $\frac{1}{x - 1}$ 有意义的x的取值范围是．

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10. 第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000名青少年志愿者提供服务．将13000用科学记数法表示为．

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11. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= ．

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12. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm．

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13. △OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为．

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14.
已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：．

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15. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于P．已知A（2，3），B（1，1），D（4，3），则点P的坐标为（，）．

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16. 计算（1﹣ $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ）（ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$ ）﹣（1﹣ $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ﹣ $\frac{1}{6}$ ）（ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$ ）的结果是．

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三、解答题

17. 化简（ $\frac{1}{a - b} - \frac{b}{a^{2} - b^{2}}$ ）÷ $\frac{a}{a + b}$ ．

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18. 解方程： $\frac{2 x}{x -2}$ =1﹣ $\frac{1}{2-x}$ ．

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19. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．

(1)、求证：∠ADB=∠CDB；

(2)、若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

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20.

(1)、一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、绿的球各1个．这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：
①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球；

(2)、某次考试共有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一个是正确的．如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部正确的概率是．

A、 $\frac{1}{4}$ B、 ${(\frac{1}{4})}^{6}$ C、1﹣ ${(\frac{1}{4})}^{6}$ D、1﹣ ${(\frac{3}{4})}^{6}$ ．

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21. 某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了150名学生进行抽样调查．整理样本数据，得到下列图表：

(1)、理解划线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由；

(2)、根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图；

(3)、该校数学兴趣小组结合调查获取信息，向学校提出了一些建议，如：骑车上学的学生约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地，请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化的建议.

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22. 已知不等臂跷跷板AB长4m．如图①，当AB的一端A碰到地面上时，AB与地面的夹角为α；如图②，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β．求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH．（用含α，β的式子表示）

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23. 某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．
消费金额（元）
300﹣400
400﹣500
500﹣600
600﹣700
700﹣900
…
返还金额（元）
30
60
100
130
150
…
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×（1﹣80%）+30=110（元）．

(1)、购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？

(2)、如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？

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24. 小丽驾车从甲地到乙地．设她出发第xmin时的速度为ykm/h，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．

(1)、小丽驾车的最高速度是 km/h；

(2)、当20≤x≤30时，求y与x之间的函数关系式，并求出小丽出发第22min时的速度；

(3)、如果汽车每行驶100km耗油10L，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？

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25. 如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．

(1)、判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、若AB=9，BC=6．求PC的长．

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26. 已知二次函数y=a（x﹣m）²﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．

(1)、求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．

(2)、设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．
①当△ABC的面积为1时，求a的值．
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

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27.
对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似．

(1)、
根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ；其中，互为顺相似的是；互为逆相似的是．（填写所有符合要求的序号）．

(2)、如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上（不与点A，B，C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．

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消费金额（元）	300﹣400	400﹣500	500﹣600	600﹣700	700﹣900	…
返还金额（元）	30	60	100	130	150	…