2013年江苏省常州市中考数学试卷

试卷更新日期：2017-05-18 类型：中考真卷

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一、选择题

1. 在下列实数中，无理数是（）

A、2 B、3.14 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 如图所示圆柱的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是（）

A、 $y = \frac{- 1}{x}$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = \frac{2}{x}$ D、 $y = \frac{- 2}{x}$

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4. 下列计算中，正确的是（）

A、（a³b）²=a⁶b² B、a•a⁴=a⁴ C、a⁶÷a²=a³ D、3a+2b=5ab

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5. 已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差 $S_{甲}^{2} = \frac{1}{12}$ ，乙组数据的方差 $S_{乙}^{2} = \frac{1}{10}$ ，下列结论中正确的是（）

A、甲组数据比乙组数据的波动大 B、乙组数据的比甲组数据的波动大 C、甲组数据与乙组数据的波动一样大 D、甲组数据与乙组数据的波动不能比较

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6. 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、无法判断

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7. 二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
12
给出了结论：
1）二次函数y=ax²+bx+c有最小值，最小值为﹣3；
2）当 $- \frac{1}{2} < x < 2$ 时，y＜0；
3）二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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8. 有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（）

A、a+b B、2a+b C、3a+b D、a+2b

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二、填空题

9. 计算﹣（﹣3）= ， |﹣3|= ，（﹣3）^﹣¹= ，（﹣3）²= ．

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10. 已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P₁的坐标是，点P关于原点O的对称点P₂的坐标是．

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11. 已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B（1，0），则k= ， b= ．

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12. 已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是 cm，扇形的面积是 cm²（结果保留π）．

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13. 函数y= $\sqrt{x - 3}$ 中自变量x的取值范围是；若分式 $\frac{2 x - 3}{x + 1}$ 的值为0，则x=

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14. 我市某一周的每一天的最高气温统计如下表：
最高气温（℃）
25
26
27
28
天数
1
1
2
3
则这组数据的中位数是，众数是．

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15. 已知x=﹣1是关于x的方程2x²+ax﹣a²=0的一个根，则a= ．

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16. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC= ．

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17. 在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ OA，则k= ．

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三、解答题

18. 化简

(1)、 $\sqrt{4} - {(- 2013)}^{0} + 2 \cos 60^{\circ}$

(2)、 $\frac{2 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2}$ ．

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19. 解方程组和分式方程：

(1)、 ${\begin{cases} x + 2 y = 0 \\ 3 x + 4 y = 6 \end{cases}$

(2)、 $\frac{7}{x - 2} = \frac{5}{2}$ ．

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20. 为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计
图（1）和图（2）．

(1)、请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整；

(2)、扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为．

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21. 一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．

(1)、从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？

(2)、从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．

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22. 如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．

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23. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．
求证：四边形ABCD是菱形．

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24.
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= $\sqrt{3}$ ，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：
以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：
∠ABC= ， ∠A′BC= ， OA+OB+OC= ．

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25. 某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）．

(1)、列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；

(2)、已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？

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26.
用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S= $\frac{1}{2}$ a+b﹣1（史称“皮克公式”）．
小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：
根据图中提供的信息填表：

格点多边形各边上的格点的个数
格点多边形内部的格点个数
格点多边形的面积
多边形1
8
1
多边形2
7
3
…
…
…
…
一般格点多边形
a
b
S
则S与a、b之间的关系为S=（用含a、b的代数式表示）．

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27. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．

(1)、当OC∥AB时，∠BOC的度数为；

(2)、连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值；

(3)、连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．

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28.
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA．

(1)、写出A、C两点的坐标；

(2)、当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；

(3)、当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由．

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	格点多边形各边上的格点的个数	格点多边形内部的格点个数	格点多边形的面积
多边形1	8	1
多边形2	7	3
…	…	…	…
一般格点多边形	a	b	S

x	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	5
y	12	5	0	﹣3	﹣4	﹣3	0	5	12

最高气温（℃）	25	26	27	28
天数	1	1	2	3