2016-2017学年四川省成都市九校联考高三下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-18 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈Z|x²≤1}，则A∩B=（）

A、[﹣1，1] B、[﹣2，2] C、{﹣1，0，1} D、{﹣2，﹣1，0，1，2}

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2. 关于复数z= $\frac{2}{- 1 + i}$ ，下列说法中正确的是（）

A、|z|=2 B、z的虚部为﹣i C、z的共轭复数 $\bar{z}$ 位于复平面的第三象限 D、z• $\bar{z}$ =2

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3. 已知a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β（）

A、恰能作一个 B、至多能作一个 C、至少能作一个 D、不存在

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4. 已知二项式（x﹣ $\frac{a}{\sqrt[3]{x}}$ ）⁴的展开式中常数项为32，则a=（）

A、8 B、﹣8 C、2 D、﹣2

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5. 函数y=lncosx（﹣ $\frac{π}{2}$ ＜x＜ $\frac{π}{2}$ ）的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等．”，则其中分得钱数最多的是（）

A、 $\frac{5}{6}$ 钱 B、1钱 C、 $\frac{7}{6}$ 钱 D、 $\frac{4}{3}$ 钱

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7. 将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是（）

A、60 B、90 C、120 D、180

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8. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为4，则t的值不可能是（）

A、3 B、6 C、8 D、11

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9. 若函数f（x）=2sin（ $\frac{π}{6} x + \frac{π}{3}$ ）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（ $\vec{O B}$ + $\vec{O C}$ ）• $\vec{O A}$ =（）

A、﹣32 B、﹣16 C、16 D、32

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10. 三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）

A、32π B、36π C、128π D、144π

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）

A、（1，2） B、（2，+∞） C、（1， $\sqrt{2}$ ） D、（ $\sqrt{2}$ ，+∞）

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12. 设函数f（x）=2lnx﹣ $\frac{3}{x}$ ﹣m，若关于x的方程f（f（x））=x恰有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A、（2ln3﹣4，+∞） B、（﹣∞，2ln3﹣4） C、（﹣4，+∞） D、（﹣∞，﹣4）

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二、填空题

13. 若x，y满足 ${\begin{cases} x - y \leq 0 ， \\ x + y \leq 1 ， \\ x \geq 0 ， \end{cases}$ 则z=x+2y的最大值为．

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14. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{a}$ ⊥（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ），则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影为．

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15. 斜率为k（k＞0）的直线l经过点F（1，0）交抛物线y²=4x于A，B两点，若△AOF的面积是△BOF面积的2倍，则k= ．

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16. 已知数列{a_n}满足a₁= $\frac{1}{4}$ ，a_n₊₁=a_n²+a_n（n∈N^*），则 $\sum_{n = 1}^{2016} \frac{1}{a_{n} + 1}$ 的整数部分是

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三、解答题

17. 在△ABC中，已知A= $\frac{π}{4}$ ，cosB= $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若BC=2 $\sqrt{5}$ ，D为AB的中点，求CD的长．

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18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，∠ABC=120°，AD=CD= $\sqrt{7}$ ，直线PC与平面ABCD所成角的正切为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、设E为直线PC上任意一点，求证：AE⊥BD；

(2)、求二面角B﹣PC﹣A的正弦值．

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19. 为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况，从两校各随机抽取60名学生，将所得样本作出频数分布统计表如下：
甲校：
分组
[70，80）
[80，90）
[90，100）
[100，110）
频数
2
5
9
10
分组
[110，120）
[120，130）
[130，140）
[140，150]
频数
14
10
6
4
乙校：
分组
[70，80）
[80，90）
[90，100）
[100，110）
频数
2
4
8
16
分组
[110，120）
[120，130）
[130，140）
[140，150]
频数
15
6
6
3
以抽样所得样本数据估计总体

(1)、比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低；

(2)、若规定数学成绩不低于120分为优秀，从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人，其中数学成绩为优秀的共X人，求X的分布列及数学期望．

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20. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{6}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1，圆C₂：x²+y²=t经过椭圆C₁的焦点．

(1)、设P为椭圆上任意一点，过点P作圆C₂的切线，切点为Q，求△POQ面积的取值范围，其中O为坐标原点；

(2)、过点M（﹣1，0）的直线l与曲线C₁ ， C₂自上而下依次交于点A，B，C，D，若|AB|=|CD|，求直线l的方程．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{1}{2}$ x²﹣ax+（3﹣a）lnx，a∈R．

(1)、若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1=0垂直，求a的值；

(2)、设f（x）有两个极值点x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ，求证：﹣5﹣f（x₁）＜f（x₂）＜﹣ $\frac{3}{2}$ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，圆C₁和C₂的参数方程分别是 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 \cos ϕ \\ y = 2 \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数）和 ${\begin{matrix} x = \cos ϕ \\ y = 1 + \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求圆C₁和C₂的极坐标方程；

(2)、射线OM：θ=a与圆C₁的交点为O、P，与圆C₂的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．

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23. 设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t²﹣ $\frac{7}{2}$ t恒成立，求实数t的取值范围．

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分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
频数	2	5	9	10
分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
频数	14	10	6	4