2016-2017学年江西省赣州市十四县（市）联考高三下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-18 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设全集为R，集合A={x|x²﹣16＜0}，B={x|﹣2＜x≤6}，则A∩（∁_RB）等于（）

A、（﹣4，0） B、（﹣4，﹣2] C、（﹣4，4） D、（﹣4，﹣2）

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2. 设复数z=﹣2+i（i是虚数单位），z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则|（1+z）• $\bar{z}$ |等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、5 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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3. 如图所示的程序框图，若输入x，k，b，p的值分别为1，﹣2，9，3，则输出x的值为（）

A、﹣29 B、﹣5 C、7 D、19

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4. 设F₁ ， F₂是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （0＜b＜2）的左、右焦点，过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF₂|+|BF₂|最大值为5，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 在△ABC中，AB=2，BC= $\sqrt{10}$ ，cosA= $\frac{1}{4}$ ，则AB边上的高等于（）

A、 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ D、3

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6. 若不等式组 ${\begin{cases} x + y \leq 1 \\ x - y \geq - 1 \\ y \geq 0 \end{cases}$ 所表示的平面区域被直线z=x﹣y分成面积相等的两部分，则z的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1﹣2 $\sqrt{2}$ D、1 $- \sqrt{2}$

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7. 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA₁=6，若E，F分别是棱BB₁ ， CC₁上的点，且BE=B₁E，C₁F= $\frac{1}{3}$ CC₁ ，则异面直线A₁E与AF所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$

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8. 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，点E、F分别在边AB、AD上， $\vec{A K}$ = $\frac{5}{7}$ $\vec{A B}$ ， $\vec{A F}$ = $\frac{1}{4}$ $\vec{A D}$ ，直线EF交于AC于点K， $\vec{A K}$ =λ $\vec{A O}$ ，则λ等于（）

A、 $\frac{8}{27}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{10}{27}$ D、 $\frac{11}{27}$

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9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，几何体的表面积为（）

A、4+2（ $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ ） B、6+2（ $\sqrt{2}$ + $\sqrt{5}$ ） C、10 D、12

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10. 已知函数f（x）=2.5cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，M、N两点之间的距离为13，且f（3）=0，若将函数f（x）的图象向右平移t（t＞0）个单位长度后所得函数的图象关于坐标原点对称，则t的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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11. 已知定义在区间[﹣3，3]上的单调函数f（x）满足：对任意的x∈[﹣3，3]，都有f（f（x）﹣2^x）=6，则在[﹣3，3]上随机取一个实数x，使得f（x）的值不小于4的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 若存在x₀＞1，使不等式（x₀+1）ln x₀＜a（x₀﹣1）成立，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，2） B、（2，+∞） C、（1，+∞） D、（4，+∞）

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二、填空题

13. 设θ为锐角，若cos（θ+ $\frac{3 π}{16}$ ）= $\frac{3}{5}$ ，则sin（θ﹣ $\frac{π}{16}$ ）= ．

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14. 若（x+ $\frac{1}{3 x}$ ）ⁿ的展开式中前三项的系数分别为A、B、C，且满足4A=9（C﹣B），则展开式中x²的系数为．

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15. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金 $\frac{1}{2}$ ，第2关收税金为剩余金的 $\frac{1}{3}$ ，第3关收税金为剩余金的 $\frac{1}{4}$ ，第4关收税金为剩余金的 $\frac{1}{5}$ ，第5关收税金为剩余金的 $\frac{1}{6}$ ，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．

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16. 点P在双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，直线PF₁与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF₁的垂直平分线恰好过点F₂ ，则该双曲线的渐近线的斜率为．

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三、解答题

17. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₂=7，a₃为整数，且S_n的最大值为S₅ ．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n= $\frac{a^{n}}{2^{n}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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18. 在高中学习过程中，同学们经常这样说“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题”某班针对“高中生物理对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表：
编号
成绩
1
2
3
4
5
物理（x）
90
85
74
68
63
数学（y）
130
125
110
95
90
（参考公式：b= $\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} n x^{- 2}}$ ， $\hat{a}$ = $\bar{y}$ b $\bar{x}$ ，）参考数据：90²+85²+74²+68²+63²=29394
90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595．

(1)、求数学y成绩关于物理成绩x的线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ （b精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分时，预测他的物理成绩．

(2)、要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．

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19. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD=AB，∠ABC=60°，将三角形ABD沿BD折起，使点A在平面BCD上的投影G落在BD上．

(1)、求证：平面ACD⊥平面ABD；

(2)、求二面角G﹣AC﹣D的平面角的余弦值．

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20. 已知点H（0，﹣8），点P在x轴上，动点F满足PF⊥PH，且PF与y轴交于点Q，Q为线段PF的中点．

(1)、求动点F的轨迹E的方程；

(2)、点D是直线l：x﹣y﹣2=0上任意一点，过点D作E的两条切线，切点分别为A、B，取线段AB的中点，连接DM交曲线E于点N，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标．

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21. 已知函数f（x）=e^x+be^﹣^x﹣2asinx（a，b∈R）．

(1)、当a=0时，讨论函数f（x）的单调区间；

(2)、当b=﹣1时，若f（x）＞0对任意x∈（0，π）恒成立，求a的取值范围．

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22. 已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²cos2θ=18，曲线C₂的极坐标方程为θ= $\frac{π}{6}$ ，曲线C₁ ， C₂相交于A，B两点．

(1)、求A，B两点的极坐标；

(2)、曲线C₁与直线 ${\begin{cases} x = 2 + \frac{\sqrt{3} t}{2} \\ y = \frac{1}{2} t \end{cases}$ （t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．

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23. 设对于任意实数x，不等式|x+6|+|x﹣1|≥m恒成立．
（I）求m 的取值范围；
（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣4|﹣3x≤2m﹣9．

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