2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三下学期期中数学试卷（文科）

试卷更新日期：2017-05-18 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，N={2，3，5}，则M∪（∁_UN）=（）

A、{1} B、{1，2，3，5} C、{1，2，4，5} D、{1，2，3，4，5}

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2. 设i是虚数单位，复数 $z = \frac{2 i^{3}}{1 - i}$ ，则复数z在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）

A、18 B、20 C、21 D、40

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4. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日
12
35000
2015年5月15日
48
35600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（　　）

A、6升 B、8升 C、10升 D、12升

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5. 下列命题，正确的是（）

A、命题“∃x₀∈R，使得x₀²﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x²﹣1＞0” B、命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题 C、命题“若x²=y² ，则x=y”的逆否命题是真命题 D、命题“若x=3，则x²﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x²﹣2x﹣3≠0”

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6. 已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）

A、若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B、若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C、若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D、若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

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7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A、 $2 + \sqrt{5}$ B、 $4 + \sqrt{5}$ C、 $2 + 2 \sqrt{5}$ D、5

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8. 平面直角坐标系中，在由x轴、 $x = \frac{π}{3}$ 、x= $\frac{5 π}{3}$ 和y=2所围成的矩形中任取一点，满足不等关系y≤1﹣sin3x的概率是（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} 2^{x} - a ， x \leq 1 \\ - x + a ， x > 1 \end{cases}$ ，则“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈（）

A、（0，2] B、（1，2] C、（1，2） D、（0，1]

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11. 如图所示，△DEF中，已知DE=DF，点M在直线EF上从左到右运动（点M不与E、F重合），对于M的每一个位置（x，0），记△DEM的外接圆面积与△DMF的外接圆面积的比值为f（x），那么函数y=f（x）的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 对任意的x，y∈（0，+∞），不等式e^x⁺^y^﹣4+e^x^﹣y⁺⁴+6≥4xlna恒成立，则正实数a的最大值是（）

A、 $\sqrt{e}$ B、 $\frac{1}{2} e$ C、e D、2e

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二、填空题

13. 函数f（x）= $\sqrt{4^{x} - 2^{x + 1}}$ 的定义域为．

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14. 已知函数f（x）= ${\begin{cases} 2^{- x} - 1 ， x \leq 0 \\ \sqrt{x} ， x > 0 \end{cases}$ 若f[f（x₀）]=1，则x₀= ．

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15. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且2acosC﹣a=c﹣2ccosC，若c=3，则a+b的最大值为．

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16. 已知在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，AA₁=a．棱BB₁的中点为E，棱B₁C₁的中点为F，平面AEF与平面AA₁C₁C的交线与AA₁所成角的正切值为 $\frac{2}{3}$ ，则三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁外接球的半径为．

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三、解答题

17. 在数列{a_n}中，设f（n）=a_n ，且f（n）满足f（n+1）﹣2f（n）=2ⁿ（n∈N*），且a₁=1．

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n - 1}}$ ，证明数列{b_n}为等差数列；

(2)、求数列{a_n}的前n项和S_n ．

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18. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\vec{m}$ =（ $\sqrt{3}$ ，1）， $\vec{n}$ =（cosA+1，sinA），且 $\vec{m}$ • $\vec{n}$ 的值为2+ $\sqrt{3}$ ．

(1)、求∠A的大小；

(2)、若a= $\sqrt{3}$ ，cosB= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求△ABC的面积．

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19. 已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）= ${\begin{cases} 400 - 6 x ， 0 < x \leq 40 \\ \frac{7400}{x} - \frac{40000}{x^{2}} ， x > 40 \end{cases}$

(1)、写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

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20. 在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱BB₁⊥底面A₁B₁C₁ ， D为AC 的中点，A₁B₁=BB₁=2，A₁C₁=BC₁ ， ∠A₁C₁B=60°．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求多面体A₁B₁C₁DBA的体积．

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21. 已知函数f（x）=lnx，g（x）= $\frac{1}{2}$ x²﹣bx（b为常数）．

(1)、函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；

(2)、若函数h（x）=f（x）+g（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；

(3)、若b≥2，∀x₁ ， x₂∈[1，2]，且x₁≠x₂ ，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|＞|g（x₁）﹣g（x₂）|成立，求实数b的取值范围．

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22. 如图，在几何体A₁B₁D₁﹣ABCD中，四边形A₁B₁BA与A₁D₁DA均为直角梯形，且AA₁⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=2A₁D₁=2A₁B₁=4，AA₁=4，P为DD₁的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥PC；
（Ⅱ）求几何体A₁B₁D₁﹣ABCD的表面积．

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23. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρcos²θ﹣4sinθ=0，P点的极坐标为 $(3, \frac{π}{2})$ ，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，斜率为 $\sqrt{3}$

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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加油时间	加油量（升）	加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日	12	35000
2015年5月15日	48	35600