2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-18 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知全集U=R，集合A={x|2^x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁_UA）∩B=（）

A、{x|x＞2} B、{x|0≤x＜2} C、{x|0＜x≤2} D、{x|x≤2}

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2. 设i是虚数单位，复数z满足z•（1+2i）²=3+4i，则z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 命题“∃x₀∈R， $x_{0}^{2} - x_{0} - 1 > 0$ ”的否定是（）

A、∀x∈R，x²﹣x﹣1≤0 B、∀x∈R，x²﹣x﹣1＞0 C、∃x₀∈R， $x_{0}^{2} - x_{0} - 1 \leq 0$ D、∃x₀∈R， $x_{0}^{2} - x_{0} - 1 \geq 0$

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4. 《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）

A、18 B、20 C、21 D、25

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5. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（﹣2，m），若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则|2 $\vec{a}$ +3 $\vec{b}$ |等于（）

A、 $\sqrt{70}$ B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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6. 设a=2，b=lg9，c=2sin $\frac{9 π}{5}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、a＞b＞c B、a＞c＞b C、b＞a＞c D、c＞a＞b

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7. 按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件可为（）

A、k≥8 B、k＜8 C、k＜16 D、k≥16

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8. 函数f（x）=（ $\frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$ ）cosx的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线过点 $(2 ， \sqrt{3})$ ，且双曲线的一个焦点在抛物线y²=2px（p＞0）的准线上，则p等于（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、2 D、1

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10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11. 若实数x，y满足的约束条件 ${\begin{cases} x + y - 1 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y + 1 \geq 0 \end{cases}$ ，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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12. 已知函数f（x）=x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 若 $f (x) = {\begin{cases} 3^{x} ， x \leq 0 \\ \frac{1}{x} ， x > 0 \end{cases}$ ，则f（f（﹣2））= ．

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14. 设 $a = \int_{0}^{π} \sin x d x ，则二项式 {(a \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中的常数项等于．

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15. 正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁底面△ABC的边长为3，此三棱柱的外接球的半径为 $\sqrt{7}$ ，则异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为．

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16. 已知数列{a_n}满足 $a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} = 2^{n^{2}}$ （n∈N^*），且对任意n∈N^*都有 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < t$ ，则实数t的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (\sin x ， - 1)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \cos x ， - \frac{1}{2})$ ，函数 $f (x) = [\vec{a} + \vec{b}] \cdot \vec{a} - 2$ ．

(1)、求函数f（x）的单调递增区间；

(2)、已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角， $a = \sqrt{3}$ ，c=1，且f（A）=1，求△ABC的面积S．

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18. 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0，10]，分为五个级别，T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图．
（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（Ⅱ）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．

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19. 如图，四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AD=AB=2， $B D = 2 \sqrt{3}$ ，AC与BD中心O点，将△ACD沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为60°．

(1)、求证：平面PAC⊥平面PDB；

(2)、求已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值．

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20. 设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，点A（{2， $\sqrt{2}$ ）在椭圆上，且满足 $\vec{A F_{2}}$ • $\vec{F_{1} F_{2}}$ =0．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）动直线l：y=kx+m与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，是否存在圆x²+y²=r²使得l恰好是该圆的切线，若存在，求出r；若不存在，说明理由．

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21. 函数f（x）= $\frac{a + \ln x}{x}$ ，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e²x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．

(1)、若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；

(2)、求证：当x＞1时， $\frac{f (x)}{e + 1}$ ＞ $\frac{2 e^{x - 1}}{(x + 1) (x e^{x} + 1)}$ ．

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22. 在平面直角坐标系xOy中曲线 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 经伸缩变换 ${\begin{cases} x^{2} = 2 x \\ y^{2} = y \end{cases}$ 后得到曲线C₂ ，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₃的极坐标方程为 $ρ = \frac{- 8}{ρ - 6 \sin θ}$ ．

(1)、求曲线C₂的参数方程和C₃的直角坐标方程；

(2)、设M为曲线C₂上的一点，又M向曲线C₃引切线，切点为N，求|MN|的最大值．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为k．

(1)、求k的值；

(2)、若a，b，c∈R， $\frac{a^{2} + c^{2}}{2}$ +b²=k，求b（a+c）的最大值．

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