2017年山西省晋中市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-18 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）

A、（﹣2，0） B、（0，2） C、（﹣1，2） D、（﹣2，﹣1）

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2. i是虚数单位，若复数z满足zi=﹣1+i，则复数z的实部与虚部的和是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3. 已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，则2（a₁+a₃+a₅）+3（a₈+a₁₀）=36，则S₁₁=（）

A、66 B、55 C、44 D、33

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4. 如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）

A、1﹣ $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{12}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、1﹣ $\frac{π}{12}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{\cos x}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）

A、4π B、 $\frac{28}{3}$ π C、 $\frac{44}{3}$ π D、20π

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7. 执行如图框图，已知输出的s∈[0，4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n﹣m的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、6π+1 B、 $\frac{(24 + \sqrt{2}) π}{4} + 1$ C、 $\frac{(23 + \sqrt{2}) π}{4} + \frac{1}{2}$ D、 $\frac{(23 + \sqrt{2}) π}{4} + 1$

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9. 已知D= ${(x ， y) | {\begin{cases} x + y - 2 < 0 \\ x - y + 2 \leq 0 \\ 3 x - y + 6 \geq 0 \end{cases}}$ ，给出下列四个命题：
P₁：∀（x，y）∈D，x+y+1≥0；
P₂：∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；
P₃：∃（x，y）∈D， $\frac{y + 1}{x - 1}$ ≤﹣4；
P₄：∃（x，y）∈D，x²+y²≤2．
其中真命题的是（）

A、P₁ ， P₂ B、P₂ ， P₃ C、P₂ ， P₄ D、P₃ ， P₄

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10. 已知抛物线y²=4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为 $2 \sqrt{6}$ ，则|AB|=（）

A、24 B、8 C、12 D、16

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11. 已知函数f（x）=sinωx﹣ $\sqrt{3}$ cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）

A、（ $\frac{13}{6}$ ， $\frac{7}{2}$ ] B、（ $\frac{7}{2}$ ， $\frac{25}{6}$ ] C、（ $\frac{25}{6}$ ， $\frac{11}{2}$ ] D、（ $\frac{11}{2}$ ， $\frac{37}{6}$ ]

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12. 已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x₁ ， y₁）∈M，存在（x₂ ， y₂）∈M，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：
①M={（x，y）|y= $\frac{1}{x^{2}}$ }；

②M={（x，y）|y=sinx+1}；

③M={（x，y）|y=2^x﹣2}；

④M={（x，y）|y=log₂x}

其中是“垂直对点集”的序号是（）

A、②③④ B、①②④ C、①③④ D、①②③

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二、填空题

13. 若两个非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角是．

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14. 已知双曲线经过点 $(1 ， 2 \sqrt{2})$ ，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为．

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15. 我们可以利用数列{a_n}的递推公式a_n= ${\begin{cases} n ， n 为奇数时 \\ \frac{a_{n}}{2} ， n 为偶数时 \end{cases}$ （n∈N⁺），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a₆₄+a₆₅= ．

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16. 已知数列{a_n}中，a₁=﹣1，a_n₊₁=2a_n+3n﹣1（n∈N^*），则其前n项和S_n= ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $\frac{2 c - b}{a}$ = $\frac{\cos B}{cosA}$ ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2 $\sqrt{5}$ ，求△ABC面积的最大值．

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18. 某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．

(1)、求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；

(2)、记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与期望．

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19. 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．

(1)、证明：平面ACF⊥平面BEFD

(2)、若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D $(1, \frac{3}{2})$ 在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A₁、B₁

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、是否存在直线l，使得点N平分线段A₁B₁？若存在，求求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）=2lnx+ax﹣ $\frac{4 f^{'} (2)}{x}$ （a∈R）在x=2处的切线经过点（﹣4，ln2）

(1)、讨论函数f（x）的单调性；

(2)、若不等式 $\frac{2 x \ln x}{1 - x^{2}}$ ＞mx﹣1恒成立，求实数m的取值范围．

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22. 已知椭圆的长轴长为6，离心率为 $\frac{1}{3}$ ，F₂为椭圆的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点M在圆x²+y²=8上，且M在第一象限，过M作圆x²+y²=8的切线交椭圆于P，Q两点，判断△PF₂Q的周长是否为定值并说明理由．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + \frac{1}{2 a} (a \neq 0)$

(1)、若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；

(2)、当a＜ $\frac{1}{2}$ 时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．

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